Рядов с положительными членами. Знакоположительные ряды

ЗНАКОПОЛОЖИТЕЛЬНЫЕ РЯДЫ

И ПРИЗНАКИ ИХ СХОДИМОСТИ

Признак сравнения исследования сходимости

рядов с положительными членами

Как было отмечено ранее, критерий Коши устанавливает общий признак сходимости произвольного числового ряда, но доказать с помощью него сходимость ряда не представляется возможным. В связи с этим рассмотрим более простые и удобные признаки, но пригодные для исследования на сходимость рядов более частного вида.

Числовой ряд, у которого все члены одинакового знака, называется знакопостоянным рядом. Для определенности будем рассматривать ряд с положительными членами , который называется знакоположительным рядом.

Для знакоположительных рядов на практике широко используется несколько признаков, определяющих достаточные условия их сходимости и расходимости. Прежде всего, сформулируем так называемый признак сравнения.

Пусть заданы два ряда

, (2.1)

(2.2)

с положительными членами . Если, начиная с некоторого номера , для всех имеет место , то из сходимости ряда (2.2) следует сходимость ряда (2.1), при этом сумма ряда (2.1) не превосходит суммы ряда (2.2), а из расходимости ряда (2.1) следует расходимость ряда (2.2).

Заметим, что для практической реализации признака сравнения в качестве сравниваемого ряда необходимо взять ряд с известным характером поведения, например, расходящийся гармонический ряд (1.8) или ряд геометрической прогрессии (1.4), сходящийся при и расходящийся при .

Пример 2.1. Убедиться в том, что ряд расходится.

Р е ш е н и е. Сравним общий член заданного ряда с общим членом гармонического ряда (1.8). Поскольку при имеет место , то

.

Так как гармонический ряд расходится, то по признаку сравнения исследуемый ряд также расходится.

Пример 2.2. Исследовать на сходимость числовой ряд

Р е ш е н и е. Сравнивая общий член данного ряда с общим членом сходящегося ряда геометрической прогрессии , знаменатель которой , замечаем, что при . Следовательно, исходный ряд сходится по признаку сравнения.

Задание 2.1. Используя признак сравнения, исследовать на сходимость следующие ряды:

а) ; б) ; в) .

Ответы: а) ряд расходится; б) ряд сходится; в) ряд расходится.

Дата добавления: 2015-07-26