Предельный признак сравнения

При исследовании на сходимость знакоположительных рядов в ряде случаев целесообразно применить следствие признака сравнения - так называемый предельный признак сравнения: если существует конечный и отличный от нуля предел отношения общих членов рядов (2.1) и (2.2), то эти ряды ведут себя одинаково относительно сходимости.

Таким образом, согласно этому признаку, если существует предел

,

то в случае сходимости одного из рядов (2.1) или (2.2) другой ряд также сходится, а из расходимости одного из них следует расходимость другого.

Пример 2.3. Исследовать на сходимость числовой ряд

.

Р е ш е н и е. Воспользуемся предельным признаком сравнения, выбрав в качестве сравниваемого ряда гармонический ряд (1.8). Так как общие члены сравниваемых рядов имеют вид

, ,

то, вычислив предел их отношения, перейдя при этом к непрерывной переменной и применив правило Лопиталя раскрытия неопределенности, получим:

.

Поскольку предел отношения общих членов сравниваемых рядов существует и отличен от нуля, а гармонический ряд расходится, то исследуемый ряд также расходится.

Задание 2.2. Применив предельный признак сравнения, исследовать на сходимость следующие ряды:

а) ; б) ; в) .

Ответы: а) ряд расходится; б) ряд расходится; в) ряд сходится.

Дата добавления: 2015-07-26