Рядов с положительными членами

Еще одно достаточное условие сходимости знакоположительного ряда формулируется как утверждение следующей теоремы (радикальный признак Коши): если для знакоположительного ряда (2.1) найдется такое число , что для всех достаточно больших выполняется неравенство , то данный ряд сходится, если же для всех достаточно больших имеет место , то исходный ряд расходится.

На практике используется следствие из сформулированной выше теоремы (предельный признак Коши): если для знакоположительного ряда (2.1) существует предел , то при ряд сходится, а при исходный ряд расходится. В случае предельный признак Коши вопрос о сходимости ряда не решает.

Пример 2.5. Исследовать на сходимость числовой ряд

Р е ш е н и е. Так как общий член исследуемого ряда представляет собой n -ю степень некоторого выражения, то этот факт наталкивает на мысль об использовании предельного признака Коши для исследования данного ряда на сходимость. С этой целью запишем выражение n -го члена заданного ряда

и вычислим предел корня n -й степени из этого выражения:

.

Поскольку предел корня n- й степени из общего члена исследуемого ряда меньше единицы, то согласно предельному признаку Коши данный ряд сходится.

Задание 2.4. Применив предельный признак Коши, убедиться в сходимости следующих рядов:

а) ; б) ; в) .

Дата добавления: 2015-07-26