Знакоположительных рядов

Рассмотрим, наконец, еще один способ исследования на сходимость числового ряда с положительными членами, который называется интегральным признаком Маклорена - Коши.

Пусть при члены знакоположительного ряда являются значениями некоторой положительной и монотонно убывающей на промежутке функции , то есть

, , ,

тогда исходный ряд и несобственный интеграл ведут себя одинаково относительно сходимости.

Пример 2.6. Исследовать на сходимость обобщенный гармонический ряд

(2.3)

Р е ш е н и е. Применим интегральный признак Маклорена - Коши. С этой целью исследуем на сходимость несобственный интеграл от функции :

Таким образом, несобственный интеграл и обобщенный гармонический ряд (2.3) сходятся тогда и только тогда, когда показатель ряда . В частности, при сходящийся ряд

(2.4)

называется рядом Дирихле.

Заметим, что обобщенный гармонический ряд (2.3) часто выбирается в качестве сравниваемого ряда при исследовании на сходимость знакоположительных рядов с использованием признаков сравнения.

Пример 2.7. Исследовать на сходимость интеграл .

Р е ш е н и е. Подынтегральная функция положительна и монотонно убывает при .

Составим знакоположительный ряд , который сходится по предельному признаку Даламбера:

.

Поскольку числовой ряд, соответствующий исследуемому несобственному интегралу, сходится, то и сам интеграл сходится.

Задание 2.5. Применив интегральный признак Маклорена - Коши, доказать сходимость числового ряда

Задание 2.6. Убедиться в сходимости интеграла .

Дата добавления: 2015-07-26