Знакоположительных рядов. Основная сложность применения признаков сравнения для исследования сходимости

Основная сложность применения признаков сравнения для исследования сходимости знакоположительных рядов заключается в умелом выборе соответствующего ряда для сравнения. Для рассматриваемых ниже признаков Даламбера, радикального Коши и интегрального Маклорена - Коши указанный недостаток отсутствует.

Имеет место следующая теорема (признак Даламбера): если для знакоположительного ряда (2.1) найдется такое число , что для всех достаточно больших номеров выполняется неравенство , то исходный ряд сходится, если же для всех достаточно больших имеет место , то данный ряд расходится.

На практике более удобно применять следствие из этой теоремы (предельный признак Даламбера): если для знакоположительного ряда (2.1) существует предел отношения последующего члена ряда к предыдущему, то есть

,

то при ряд сходится, а при исходный ряд расходится.

Заметим, что в случае предельный признак Даламбера вопрос о сходимости ряда оставляет открытым.

По сравнению с другими методами предельный признак Даламбера наиболее эффективен при исследовании рядов, общие члены которых содержат либо факториалы, либо показательную функцию от , то есть содержат либо , либо .

Пример 2.4. Исследовать на сходимость числовой ряд

Р е ш е н и е. Для исследования сходимости заданного ряда применим предельный признак Даламбера. Для этого сначала запишем n -й и (n + 1)-й члены исследуемого ряда:

, ,

а затем вычислим предел их отношения:

.

Так как предел отношения последующего члена ряда к предыдущему меньше единицы, то исходный ряд на основании предельного признака Даламбера сходится.

Задание 2.3. Используя предельный признак Даламбера, доказать сходимость следующих числовых рядов:

а) ; б) ; в) .

Дата добавления: 2015-07-26