Пример 1.5.1.

На четырёх карточках написано по одному из чисел 1, 2, 3 и 4. Опыт состоит в случайном выборе одной из этих карточек и наблюдении написанного на ней числа.

Пространство элементарных исходов в этом опыте , где {на выбранной карточке написано число }, .

Алгебра событий состоит из всех подмножеств пространства :

,

, , , ,

, , , , , ,

, , , ,

.

Итак, пусть - алгебра событий, образованная на пространстве элементарных исходов . Предположим, что каждому элементу (событию) поставлено в соответствие число , т.е. на определена числовая функция . Эту функцию называют вероятностью, если она удовлетворяет следующим аксиомам:

1. (аксиома неотрицательности);

2. (аксиома нормированности);

3. для любых несовместных событий и (аксиома сложения).

Тройка , т.е. пространство элементарных событий с образованной на нём алгеброй событий и введённой на вероятностью , называется вероятностным пространством.

Замечания

1. Аксиомы 1 – 3 постулируют основные свойства классической и геометрической вероятности, определяющие и все другие её свойства. Поэтому можно говорить об общих свойствах вероятности, независимо от того, как она определена.

2. Для дальнейшего развития теории вероятностей аксиому 3 формулируют в обобщённом виде:

для любых попарно несовместных событий (расширенная аксиома сложения).

Кроме того, обобщается и понятие алгебры событий, но на этом мы не останавливаемся.

3. Если пространство элементарных исходов конечно или счётно, то вероятность можно ввести следующим образом. Припишем каждому элементарному исходу вероятность так, чтобы . Тогда для любого события в силу расширенной аксиомы сложения вероятность будет равна .

Заметим, что вероятности элементарных исходов можно задавать произвольно, лишь бы выполнялись условия и . Поэтому вероятность вводится неоднозначно, т.е. аксиомы вероятности определяют не единственным образом. Это позволяет рассматривать различные варианты случайных опытов с совпадающими пространствами элементарных исходов.

Дата добавления: 2015-07-26