Пример 1.4.3.

По дороге в институт студент едет последовательно на трёх автобусах разных маршрутов. Интервалы движения автобусов на этих маршрутах совпадают и равны мин.

С какой вероятностью общее время, израсходованное студентом на ожидание автобусов, не превзойдёт мин (событие )?

◄Обозначим время ожидания первого автобуса, - время ожидания второго автобуса и - время ожидания третьего автобуса.

Рис. 1.4.3. К примеру 1.4.3

Опыт состоит в случайном выборе чисел , и , т.е. упорядоченной тройки чисел . Таким образом, элементарными исходами данного опыта являются точки пространства .

По условию задачи пространство элементарных исходов определяется так: . Это куб с ребром , см. рис. 1.4.3. Событие происходит, если . Поэтому .

Точки, принадлежащие множеству , лежат по ту же сторону от плоскости , что и начало координат (часть этой плоскости, расположенная внутри куба , заштрихована на рис. 1.4.3). Кроме того, точки множества расположены в кубе . Поэтому - это четырёхгранная пирамида, три грани которой лежат в координатных плоскостях, а четвёртая - в плоскости , см. рис. 1.4.3.

Меры множеств и - это их объёмы, поэтому , . Окончательно, .►

Замечание

В примерах 1.4.1 – 1.4.3 рассмотрены случайные опыты, сводящиеся к геометрической схеме в пространствах , . Из решений этих примеров видно, что при использовании геометрического подхода вероятность события находится в результате выполнения следующих действий.

1. Определение размерности пространства данной геометрической схемы.

2. Аналитическое описание пространства элементарных исходов и подмножества (с помощью неравенств, включений множеств и т.п.).

3. Геометрическое описание и (изображение областей и ). Если , геометрическое описание невозможно. При часто обходятся без геометрической иллюстрации в силу простоты задачи.

4. Вычисление , и нахождение вероятности по формуле (1.4.1). При обобщённый ( -мерный) объём области находят с помощью -кратного интегрирования: .

Впервые геометрический подход к вычислению вероятности применил известный учёный Жорж Бюффон. В работе, написанной в 1733 году он рассмотрел следующую задачу.

Пример 1.4.4. Задача Бюффона.

На плоскость, разграниченную параллельными прямыми, отстоящими друг от друга на расстояние , наудачу бросается игла диной (). Найти вероятность события {игла пересечет какую-либо из прямых }.

◄Будем описывать положение иглы двумя координатами: углом между иглой и прямыми и расстоянием от центра иглы до ближайшей прямой, см рис. 1.4.4.

Рис. 1.4.4. К примеру 1.4.4

Тогда опыт можно представить как случайный выбор упорядоченной пары чисел , т.е. элементарными исходами являются точки пространства .

Пространство элементарных исходов (прямоугольник), событие (криволинейная трапеция), см рис. 1.4.5.

Рис. 1.4.5. К примеру 1.4.4

Очевидно, , , поэтому .►

Контрольные вопросы

1. Какой случайный опыт называют геометрической схемой?

2. Какое условие геометрической схемы аналогично требованию равновозможности элементарных исходов в классической схеме?

3. Приведите определение геометрической вероятности.

4. Какими основными свойствами обладает геометрическая вероятность?

5. Перечислите основные шаги нахождения вероятности в геометрической схеме.

Задание для самостоятельной работы

1. Решите задачи: [1], №№ 18.142 - 18.145, 18.150, 18.151, 18.154 – 18.156.

Дата добавления: 2015-07-26