Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Орема Лейбница о сходимости знакочередующихся рядов

Читайте также:
  1. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов
  2. Аномалии соотношения зубных рядов
  3. Билет 28. Магнитное поле в веществе. Магнитные моменты атомов и молекул (орбитальный, спиновый и прецессионный). Типы магнетиков. Теорема Лармора
  4. Внешние эффекты. Положит. и отрицат. внешн. эффекты и проблема эффективного размещения ресурсов в рын. экономике. Теорема Коуза
  5. Вычисление сумм знакопеременных рядов
  6. Вычисление сумм знакочередующихся рядов
  7. Гвардии рядовой Даутов

Признак Лейбница — признак сходимости знакочередующегося ряда, установлен Готфридом Лейбницем. Формулировка теоремы:

Пусть для знакочередующегося ряда выполняются следующие условия:
  1. (монотонное убывание {an})
  2. .
Тогда этот ряд сходится.

Если, выполнены все условия, и ряд из модулей () сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Если выполнены все условия, но ряд из модулей расходится, то исходный ряд сходится условно. Строгая положительность существенна.

Ряды, удовлетворяющие признаку Лейбница, называются рядами Лейбница. Следует отметить, что этот признак является достаточным, но не необходимым.

Рассмотрим сходящийся числовой ряд

(23)

Вычисление суммы ряда S = обычно технически очень сложно. Поэтому в качестве S берут S ≈ Sn. Точность этого равенства возрастает с увеличением n.

Определение 7. Если числовой ряд сходится, то разность Rn = S - Sn называется n -м остатком ряда.

Таким образом, Rn представляет собой сходящийся числовой ряд:

Rn = un+1+un+2+….

Заметим, что Rn= (S-Sn)=S-S=0.

Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой Sn равна | Rn|=|S-Sn|. Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до E >0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось условие | Rn|<E. Однако в общем случае находить точно Rn не удаётся.

Теорема 11. (Об оценке остатка знакочередующегося числового ряда)

Если знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, то его n -й остаток по абсолютной величине не превосходит модуля (n +1)-го члена ряда.

Доказательство. Пусть ряд u1-u2+u3-u4+…+(-1)n-1.un+… сходится по признаку Лейбница. Тогда n -й остаток ряда Rn=±(un+1-un+2+un+3-…) сам является суммой знакочередующегося числового ряда и по теореме Лейбница |Rn|≤|un+1 |. Теорема доказана.

Пример.

Вычислить с точностью до 0,01 сумму ряда

Очевидно, ряд сходится по признаку Лейбница. u1 = =1; u2 = ≈
≈0,166; u3 = ≈0,008<0,01. Поэтому S ≈1-0,166≈0,84.

 

 

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x − x 0), то есть ряд вида

Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 82 | Нарушение авторских прав

Читайте в этой же книге: Интегрирование четных и нечетных функций | Возведение комплексного числа в степень | Показательная функция комплексного переменного | Постановка задачи разложения функции в степенной ряд |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Интегральный признак Коши. Пусть дан ряд| Где x0 − действительное число
mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)