Интегрирование четных и нечетных функций

Пример

Не вычисляяинтегралов, определить какой из них больше или

Решение	скрыть
Заметим, что поэтому . Тогда, посвойству монотонности интеграла .

войство 3 (оценка модуля интеграла)

Пусть , и , причем — точка непрерывности функции , тогда .

Доказательство	скрыть
Пусть . Тогда , следовательно.. . Так как имеют место неравенства   и то получим .

Замечание

Условие непрерывности функции в точке , где существенно. Например, пусть

Поскольку , то неверно, что .

Это можно проиллюстрировать на графике

Свойство 4 (оценка модуля интеграла)

Если , то .

Доказательство
	скрыть
т.е. . Переходя к пределу при ранге разбиения стремящемуся к нулю, получим .

Замечание Если — интегрируема на отрезке с концами , то

1.4 Теоремы об оценке интеграла. Если на отрезке [ a, b ] функция удовлетворяет неравенству , то .
Док-во. Докажем левое неравенство (цифрами над знаками импликации обозначены номера применяемых ранее доказанных свойств): . Аналогично доказывается и правое неравенство.
Если функция f (x) интегрируема по отрезку [ a, b ], то .
Док-во. .

1.5 Теорема об интегрировании неравенств. Если в любой точке выполняется неравенство , и функции f (x), g (x) интегрируемы по отрезку [ a, b ], то .
Док-во. Для любого разбиения отрезка и любого выбора точек при . Переходя в этом неравенстве к пределу при , получаем требуемое неравенство.

1.6 Теорема о среднем. Если f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], то существует точка , такая что .
Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда . Число заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка , такая что .
Это свойство имеет простую геометрическую интерпретацию: если непрерывна на отрезке [ a, b ], то существует точка такая, что площадь криволинейной трапеции ABCD равна площади прямоугольника с основанием [ a, b ] и высотой f (c) (на рисунке выделен цветом).

Интегрирование четных и нечетных функций

Теореиа 1. Пусть f (x) – интегрируемая на промежутке [- a, a ] четная функция:

f (– x) = f (x).

(1)

Тогда интеграл от f (x) в симметричных пределах равен удвоенному интегралу по половинному промежутку:

(2)

Для доказательства представим исходный интеграл в виде суммы двух интегралов:

(3)

Преобразуем первый интеграл в правой части этого равенства, выполнив подстановку x = – s t:

(4)

Утверждение доказано.

Теореиа 2. Пусть f (x) – интегрируемая на промежутке [- a, a ] нечетная функция:

f (– x) = – f (x).

(5)

Тогда интеграл от f (x) в симметричных пределах равен нулю:

(6)

Теорема доказывается аналогичным образом:

(7)

1.8 Интеграл с переменным верхним пределом. Значение определённого интеграла не зависит от того, какой буквой обозначена переменная интегрирования: (чтобы убедиться в этом, достаточно выписать интегральные суммы, они совпадают). В этом разделе переменную интегрирования будем обозначать буквой t, а буквой x обозначим верхний предел интегрирования. Будем считать, что верхний предел интеграла может меняться, т.е. что x - переменная, в результате интеграл будет функцией Ф(x) своего верхнего предела: . Легко доказать, что если f (t) интегрируема, то Ф(x) непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема:
Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция f (t) непрерывна в окрестности точки t = x, то в этой точке функция Ф(x) дифференцируема, и .
Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе.
Док-во. Дадим верхнему пределу x приращение . Тогда , где c - точка, лежащая между x и (существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла). . Устремим . При этом (c - точка, расположенная между x и ). Так как f (t) непрерывна в точке t = x, то . Следовательно, существует , и . Теорема доказана.

Отметим первое важное следствие этой теоремы. По существу, мы доказали, что любая непрерывная функция f (x) имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой . Другим важным следствием этой теоремы является формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.

1.9 Формула Ньютона-Лейбница. Если f (x) непрерывна на отрезке [ a, b ], и F (x) - некоторая первообразная функции , то .
Док-во. Мы установили, что функция - первообразная непрерывной f (x). Так как F (x) - тоже первообразная, то Ф(x) = F (x) + C. Положим в этом равенстве x = a. Так как , то . В равенстве переобозначим переменные: для переменной интегрирования t вернёмся к обозначению x, верхний предел x обозначим b. Окончательно, .
Разность в правой части формулы Ньютона-Лейбница обозначается специальным символом: (здесь читается как "подстановка от a до b "), поэтому формулу Ньютона-Лейбница обычно записывают так: .
Пример применения формулы Ньютона-Лейбница: .

Формула интегрирования по частям для определённого интеграла. Если u (x), v (x) - непрерывно дифференцируемые функции, то .
Док-во. Интегрируем равенство в пределах от a до b: . Функция в левом интеграле имеет первообразную uv, по формуле Ньютона-Лейбница , следовательно, , откуда и следует доказываемое равенство.

Замена переменной в определённом интеграле. Теорема. Пусть функция

1. определена, непрерывно дифференцируема и монотонна на отрезке ,

2. ,

3. функция непрерывна на отрезке [ a, b ].

Тогда .

Док-во. Пусть F (x) - первообразная для функции f (x), т.е. , тогда - первообразная для функции . , что и требовалось доказать.

При решении задач нельзя забывать о том, что при переходе к новой переменной надо обязательно вычислить новые пределы интеграла.
Пример:

.

1.Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [ a; b ] функции f (x), осью Ох и прямыми х=а и х= b:

2.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и прямыми х=а, х= b:

3.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x) и :

4.Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций f (x), и осью Ох:

Пусть — тело вращения, образованное вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, расположенной в верхней полуплоскости и ограниченной осью абсцисс, прямыми и и графиком непрерывной функции .

Докажем, что это тело вращения кубируемо и его объем выражается формулой

В формуле перед интегралом обязательно присутствует число . Так повелось – всё, что в жизни крутится, связано с этой константой.

Сначала докажем, что это тело вращения регулярно, если в качестве выберем плоскость , перпендикулярную оси вращения. Отметим, что сечение, находящееся на расстоянии от плоскости , является кругом радиуса и его площадь равна (рис. 46). Поэтому функция непрерывна в силу непрерывности . Далее, если , то это значит, что . Но проекциями сечений на плоскость являются круги радиусов и с центром , и из вытекает, что круг радиуса содержится в круге радиуса .

Итак, тело вращения регулярно. Следовательно, оно кубируемо и его объем вычисляется по формуле

Если бы криволинейная трапеция была ограничена и снизу и сверху кривыми , то

Пример 4. Найдем объем шара радиуса .

Решение. Не теряя общности, будем рассматривать круг радиуса с центром в начале координат. Этот круг, вращаясь вокруг оси , образует шар. Уравнение окружности имеет вид , поэтому . Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, найдем сначала половину искомого объема

Следовательно, объем всего шара равен .

Пусть известна функция и требуется найти длину дуги, заданной функцией , где .

Для определения длины дуги необходимо вычислить определенный интеграл:

Рассмотрим случай параметрического задания кривой:

где . В этом случае для определения длина дуги вычисляется определенный интеграл:

Рассмотрим случай, когда кривая задается в полярных координатах где . Тогда для определения длины дуги вычисляется следующий определенный интеграл:

Вычислить несобственный интеграл – это значит, найти ЧИСЛО (точно так же, как в определенном интеграле), или доказать, что он расходится (то есть, получить в итоге бесконечность вместо числа).

Несобственные интегралы бывают двух видов.

Определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку. Пусть функция f (x) определена на полуоси и интегрируема по любому отрезку [ a, b ], принадлежащему этой полуоси. Предел интеграла при называется несобственным интегралом функции f (x) от a до и обозначается . Итак, по определению, . Если этот предел существует и конечен, интеграл называется сходящимся; если предел не существует или бесконечен, интеграл называется расходящимся.
Примеры: 1. ; этот предел не существует; следовательно, исследуемый интеграл расходится.

Пусть функция f (x) непрерывна при a ≤ x < b и имеет точку разрыва при x = b. Тогда соответствующий несобственный интеграл от разрывной функции определяется формулой (8)

и называется сходящимся или расходящимся в зависимости от того, существует или не существует предел правой части равенства (8). Если существует функция F (x), непрерывная на отрезке [ a, b ] и такая, что F '(x) = f (x) при a ≤ x < b (обобщенная первообразная), то для несобственного интеграла (8) справедлива обобщенная формула Ньютона-Лейбница:

(9)

Если функция f (x) непрерывна при a < x ≤ b и имеет точку разрыва x = a, тогда

(10)

Если подынтегральная функция перестает быть ограниченной внутри отрезка интегрирования, например, при x = c, то эту точку "вырезают", а интеграл определяют в предположении, что F (x) - первообразная для f (x), так:

(11)

Если пределы в (9) существуют и конечны, то интеграл называется сходящимся, в противном случае - расходящимся.

Определение. Двойным интегралом от функции по области D называется предел, к которому стремится n -я интегральная сумма (*) при стремлении к нулю наибольшего диаметра частичных областей.

Записывается это так:

Читается: “двойной интеграл от на по области D”. Выражение , показывающее вид суммируемых слагаемых, называется подынтегральным выражением; функция назы­вается подынтегральной функцией, - элементом площади, об­ласть D - областью интегрирования, наконец, переменные x и у на­зываются переменными интегрирования.

Двойной интеграл, разумеется, представляет собой число, зависящее только от подынтегральной функции и области интегрирования и вовсе не зависящее от обозначений переменных интегрирования, так что, например,

.

При вычислении двойного интеграла (*) мы будем опираться на тот факт, что он выражает объём V цилиндрического тела с основанием D, ограниченного поверхностью . Напомним, что мы уже занимались задачей об объёме тела, когда рассматривали применения определённого интеграла к задачам геометрии и получили формулу

(**)

где S (х) - площадьпоперечногосечения тела плоскостью, перпендикулярной к оси абсцисс, а и - уравнения плоскостей,ограничивающих тело. Применим теперь этуформулу к вычислениюдвойного интеграла

Криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от направления движения по кривой, то есть . Это единственное свойство, которое не совпадает с обычными свойствами интегралов, определеямых через предел интегральной суммы. Если - отрезок кусочно-гладкой кривой, заданной параметрически:
, то криволинейный интеграл вычисляется по формуле:
. Если плоская кривая задана в явном виде, то криволинейный интеграл вычисляется по формуле: .

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение, в которое входит неизвестная функция под знаком производной или дифференциала.

Дифференциальное уравнение (ДУ) – это уравнение ,
где – независимые переменные, y – функция и – частные производные.

Обыкновенное дифференциальное уравнение – это дифференциальное уравнение, которое имеет только одну независимую переменную, .

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения называется интегрированием дифференциального уравнения. Решение дифференциального уравнения - это неявно заданная функция Ф(x, y) = 0 (в некоторых случаях функцию y можно выразить через аргумент x явно), которая обращает дифференциальное уравнение в тождество.

Порядок дифференциального уравнения – это порядок старшей производной.

Вот пример уравнения первого порядка:
Вот пример уравнения четвертого порядка:

Решение дифференциального уравнения - это неявно заданная функция Ф(x, y) = 0 (в некоторых случаях функцию y можно выразить через аргумент x явно), которая обращает дифференциальное уравнение в тождество.

Дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид .

Определение. Общим решением уравнения второго порядка называется такая функция , которая при любых значениях и является решением этого уравнения.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши для линейного уравнения: если функции f (x), p_i (x), i = 1, 2, …, n непрерывны на интервале (a, b), x ₀ - произвольная точка этого интервала, то для любых начальных условий (22) существует единственная функция y (x), определённая на всём интервале (a, b) и удовлетворяющая уравнению (20) и начальным условиям (22).
Всё дальнейшее изложение ведётся в предположении, что условиятеоремы существования и единственности решения задачи Коши выполняются, даже если это не оговаривается специально.

Линейным однородным уравнением второго порядка называется уравнение . Если коэффициенты и постоянны, т.е. не зависят от , то это уравнение называют уравнением с постоянными коэффициентами и записывают его так: .

Уравнение будем называть линейным неоднородным уравнением.

е решение линейного однородного дифференциального уравнения с непрерывными на интервале интегрирования X коэффициентами определяется линейной комбинацией , где - линейно независимые частные решения ЛОДУ на X, а - произвольные постоянные.

Таким образом, общее решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид y₀=C₁⋅y₁+C₂⋅y₂, где y₁ и y₂ – частные линейно независимые решения, а С₁ и C₂ – произвольные постоянные

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

где p, q − постоянные коэффициенты.
Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение: Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k ₁ и k ₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией где C ₁ и C ₂ − произвольные действительные числа.
2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k ₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:
3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k ₁ = α + βi, k ₁ = α − βi. Общее решение записывается в виде

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка

где - заданные, непрерывные на (а;b) функции. Уравнение

левая часть которого совпадает с левой частью ЛНДУ (5.1), называется соответствующим ему однородным уравнением.

Теорема 5.1 Общим решением у уравнения (5.1) является сумма его произвольного частного решения у* и общего решения соответствующего однородного уравнения (5.2), т. е.

Убедимся, что функция (5.3) - решение уравнения (5.1). Так как у* есть решение уравнения (5.1), а - решение уравнения (5.2), то

В таком случае имеем:

Это означает, что функция является решением уравнения (5.1).

Покажем теперь, что функция

является общим решением уравнения (5.1). Для этого надо доказать, что из решения (5.4) можно выделить единственное частное решение, удовлетворяющее заданным начальным условиям

Продифференцировав функцию (5.4) и подставив начальные условия (5.5) в функцию (5.4) и ее производную, получим систему уравнений:

где у_о=у(х_о), у'₀=y'(x₀), с неизвестными c₁ и с₂. Определителем этой системы является определитель Вронского W(x₀) для функции y₁(x) и у₂(х) в точке х=х_о. Функции y₁(x) и у₂(х) линейно независимы (образуют фундаментальную систему решений), т. е. Следовательно, система имеет единственное решение: c₁=с⁰₁ и с₂=с⁰₂.

Решение является частным решением уравнения (5.1), удовлетворяющим заданным начальным условиям (5.5). Теорема доказана.

Теорема. Общее решение неоднородного уравнения (**) равно сумме общего решения соответствующего однородного уравнения (*) и частного решения данного неоднородного уравнения.

Так как находить общее решение линейного однородного ДУ с постоянными коэффициентами мы умеем, то осталось указать способ нахождения частного решения данного неоднородного линейного ДУ. При рассмотрении этой задачи мы ограничимся лишь простейшими правыми частями уравнения

1) Правая часть уравнения есть показательная функция, т.е. а≠0 .

a) Если m не является корнем характеристического уравнения, то частное решение ищем в виде z=Ae^mx.

b) Если характеристическое уравнение имеет два равных корня и m- один из корней, то частное решение ищем в виде z=Ae^mx..

c) Если характеристическое уравнение имеет два одинаковых корня, равных числу m, то частное решение ищут в виде z=Ax²e^mx.

2) Правая часть неоднородного уравнения есть тригонометрический полином Частное решение ищут в форме тригонометрического полинома z=Acoswx+Bsinwx, где А и В неопределённые коэффициенты.

3) Правая часть линейного уравнения представляет собой многочлен, например, второй степени

а≠0 Ищем частное решение этого уравнения в виде Z=Ax²+Bx+C, где А,В,С неопределённые коэффициенты, если q≠0.Если q=0. То при p≠0 частное решение имеет вид Z=x(Ax²+Bx+C).

Комплексным числом называется выражение вида , где — действительные числа ; — число, квадрат которого равен минус единице ; число обозначается .

Числа и при этом называются соответственно действительной и мнимой частью комплексного числа и обозначаются ; — мнимая единица.

Выражение называется алгебраической формой записи комплексного числа; знаки между составляющими числа — обычные знаки операций сложения и умножения, которые обладают теми же свойствами, что и в действительной области.

Комплексные числа называются сопряженными, если у них равны действительные чисти, и мнимые противоположны по знаку. Число, сопряженное числу , обозначается . Определение сопряженных чисел можно записать и виде равенств: (1.2)

Из определения, в частности, следует, что число, сопряженное действительному числу, совпадает с ним:

Суммой двух комплексных чисел и называется число такое, что справедливы равенства , то есть .Обозначение: .

Правило сложения: при сложении комплексных чисел складываются действительные и мнимые части соответственно.

Произведением чисел и называется число такое, что выполняются равенства . Обозначение: .

Нетрудно убедиться, что эти равенства имеют место, если произвести формальное перемножение выражений и , как двучленов:

Правило умножения. Комплексные числа перемножаются, как двучлены, при этом учитывается, что .

Частным от деления числа на называется число , такое, что справедливо равенство . Обозначение: . Задача нахождения частного сводится к определению и из системы

При нахождении частного удобно использовать свойство произведения сопряженных чисел.

Правило деления. Чтобы разделить число на следует числитель и знаменатель дроби умножить на число , сопряженное знаменателю.

Каждому комплексному числу геометрически соответствует точка на плоскости . Но положение точки на плоскости, кроме декартовых координат , можно зафиксировать другой парой — ее полярных координат в полярной системе (рис. 1.3,a).

Дата добавления: 2015-07-24