Показательная функция комплексного переменного

В действительной области показательная функция вводится обычно в связи с обобщением понятия степени . В комплексной области функцию требуется определить так, чтобы при ее свойства совпадали с известными свойствами функции . Одно из важнейших свойств функции — представление ее рядом Тейлора: она является суммой сходящегося на всей числовой прямой ряда .

Учитывая это, рассматриваем ряд и убеждаемся, что он абсолютно сходится при любом , т.е. во всей комплексной плоскости определена некоторая функция — сумма этого ряда. Так как при имеем , то вводим следующее определение: показательной функцией в комплексной области называется функция, которая является суммой сходящегося во всей комплексной плоскости ряда

(2.3)

Из определения следует, что показательная функция определена во всей комплексной плоскости. В частности, при , где — действительное число, имеем .

Функции вводятся аналогично показательной функции — как суммы соответствующих абсолютно сходящихся во всей комплексной плоскости рядов:

(2.7)

На основе этих функций определяются и другие тригонометрические и гиперболические:

Из определений следует, что функции являются четными, а остальные — нечетными.Сравнивая формулы (2.7) и (2.8) с формулой (2.3) — определением функции , получаем следующие формулы, справедливые при любом

(2.9)

(2.10)

Так как производная функции комплексного переменного определяется, как и в действительной области, т.е. в виде предела , то, используя это определение и свойства пределов, несложно убедиться в справедливости правил дифференцирования, известных из математического анализа. А именно имеет место следующее утверждение.

тверждение 2.5

1. Сумма, произведение функций, дифференцируемых в точке, есть функция, дифференцируемая в этой точке, и справедливы равенства:

Из этого свойства и очевидного равенства следует

2. Частное функций, дифференцируемых в точке, есть функция, дифференцируемая в этой точке, при условии, что знаменатель в точке не равен нулю:

3. Сложная функция комплексного переменного дифференцируема в точке , если в этой точке дифференцируема функция , а функция дифференцируема в точке , где и . При этом в точке имеет место формула

условия Коши-Римана:

. Если функция дифференцируема в точке, то в этой точке существуют частные производные ее действительной и мнимой частей и выполняются условия Коши-Римана:

2. Если и дифференцируемы в точке и в этой точке выполняются условия (2.19), то функция дифференцируема в точке .

3. Производная дифференцируемой функции может быть записана по одной из формул:

Пусть дна числовая последовательность a₁, a₂,., a_n,. Выражение вида

называется числовым рядом. Числа a₁, a₂,., a_n. называются членами ряда, а член a_n с произвольным номером - общим членом ряда. Здесь – общий член ряда, с помощью которого ряд (1) записывается в виде Зная общий член ряда, можно записать ряд в форме (1). Так общим членом задается числовой ряд

Рассмотрим для числового ряда (1) суммы его первых членов

Будем называть их частичными суммами и обозначим соответственно через

Если для некоторого числового ряда бесконечная последовательность его частичных сумм имеет конечный предел, то этот ряд называется сходящимся.

Этот предел называется суммой ряда.

Если последовательность частичных сумм ряда не имеет определенного предела, то ряд называется расходящимся и для него не существует суммы.

Пусть задан числовой ряд

Сумма Sn=u1+u2+…+un первых n членов ряда называется n-й частичной суммой ряда В сокращённом виде: Sn=

Ряд rn=un+1+un+2+un+3+…, полученный из ряда 1) отбрасыванием первых n членов ряда, называется n-м остатком ряда /В сокращённом виде: rn=

Теорема. Если числовой ряд сходится, то его общий член при неограниченном возрастании n стремится к нулю, т.е.

Доказательство. Пусть данный ряд сходится. Тогда по определению сходящегося ряда ;так как вместе с также и , то , т.е. Здесь , а . Поэтому

Отсюда , что и требовалось доказать.

Заметим, что нарушение необходимого признака устанавливает расходимость ряда. Это значит, что если некоторого ряда , то такой ряд является расходящимся. В этом случае применение необходимого признака дает законченный результат. Если же для некоторого ряда этот признак выполнен, то соответствующий ряд может быть и сходящимся и расходящимся. В таких случаях, т.е. при выполнении условия , вопрос о сходимости ряда требует дальнейшего исследования.Исходя из необходимого условия сходимости ряда можно сформулировать достаточный признак расходимостичислового ряда:

∞

Если limun≠0, то ряд ∑un расходится.

n→∞ n=1

Теорема 5: Для того чтобы ряд с неотрицательными членами сходился, необходимо и достаточно, чтобыпоследовательность частичных сумм этого ряда была ограничена. Доказательство. Необходимость. Пусть ряд сходится. Это значит, что последовательность его частичных сумм имеет предел.Всякая сходящая последовательность является ограниченной. Достаточность. Пусть последовательность частичных сумм ряда ограничена. Т.к. ряд с неотрицательными членами, то его частичные суммы образуют не убывающуюпоследовательность: . Монотонная ограниченная последовательность сходится, т.е. сходится ряд

Признак Даламбера. Теорема 7: Пусть дан ряд

Дата добавления: 2015-07-24