Постановка задачи разложения функции в степенной ряд

Для функции , аналитической в области , найти ряд , сходящийся к в круге , принадлежащем области , то есть

(3.15)

Равенство (3.15) означает, что является суммой ряда в круге .

Для решения задачи нужно, очевидно, найти коэффициенты ряда по заданной функции ; найти круг сходимости ряда и установить сходимость ряда именно к . Последнее, напомним, означает, что для точек круга выполняется неравенство для любого и .

Определение ряда Тейлора. Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.Функция f(x) бесконечно дифференцируется в некоторой окрестности т. a:

Этот ряд называется рядом Тейлора функции f в т. a.

Т.е., рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки a является степенной ряд относительно двучлена x – a типа:

Если у функция f(x) есть непрерывные производные вплоть до (n+1) -го порядка, то эту функцию можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:

где R_n − остаточный член в форме Лагранжа определяют так: Если это разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , значит, оно является рядом Тейлора, который представляет разложение функции f (x) в т. a. Если a = 0, значит, это разложение является рядом Маклорена:

Если пределы интегрирования лежат внутри интервала сходимости степенного ряда, то последовательность интегралов от частичных сумм ряда сходится к интегралу от суммы ряда.

Доказательств Степенной ряд (1.2) сходится равномерно на любом отрезке, целиком содержащемся внутри интервала сходимости. усть степенной ряд имеет интервал сходимости (-R,R). Рассмотрим какой-нибудь отрезок целиком содержащимся в (-R,R). Очевидно, что всегда можно найти отрезок вида , содержащий и целиком лежащий в (-R,R). Если , то и, следовательно, члены ряда (3.2) не превосходят по модулю членов ряда

Но последний ряд сходится, так как r<R. Таким образом, согласно признаку Вейерштрасса, ряд (3.2) сходится равномерно на отрезке

Дата добавления: 2015-07-24