Площадь полной шаровой поверхности

S = 4π r ²,

где S – площадь шаровой поверхности радиуса r.

Объем шарового слоя равен разности соответствующих объемов шаров – наружного и внутреннего:

,

где V _с – объем шарового слоя; r ₁ и d ₁ – соответственно наружные радиус и диаметр слоя; r ₂ и d ₂ – соответственно внутренние радиус и диаметр слоя.

Если слой тонкий, т.е. d << r ₁, r ₂ и r ₁ r ₂ = r, где d – толщина слоя, r – его радиус, то V _с 4 πr ² d по аналогии с объемом тонкой пластины.

9. Логарифмом данного числа b по данному основанию а называется показатель степени n, в которую надо возвести данное основание а, чтобы получить данное число b. В математической записи:

log_a b = n; а ⁿ = b.

Основные свойства логарифмов следующие.

1) Логарифм произведения двух или любого числа чисел равен сумме логарифмов сомножителей, взятых по тому же основанию:

log_a (b · d) = log_a b + log_a d.

2) Логарифм степенной функции равен произведению показателя степени на логарифм основания степени:

log_a b^m = m log_a b.

3) Логарифм обратной величины равен отрицательному логарифму этой величины:

log_a (1/ b) = log_a b ^-1 = - log_a b.

4) Логарифм отношения двух чисел равен разности логарифмов делимого и делителя:

log_a (b/ d) = log_a b - log_a d.

Все перечисленные свойства логарифмов легко доказываются из простейших алгебраических соображений.

Особое значение имеет правило перехода от одного основания логарифма к другому. Докажем его.

По определению a ^log_a^b = b.

Прологарифмируем это равенство по основанию с:

log_c (a ^log_a^b) = log_c b.

Из свойств логарифмов имеем:

log_a b · log_c a = log_c b.

Таким образом, логарифм данного числа (b) по новому основанию (c) равен произведению логарифма этого числа (b) по старому основанию (а) на логарифм старого основания (а) по новому (с). Следовательно, все логарифмы одного и того же числа, взятые по разным основаниям, пропорциональны друг другу. Коэффициентами пропорциональности выступают логарифмы старого основания по новому.

Для практически важных случаев перехода от натуральных логарифмов (ln) и двоичных логарифмов (ld) к десятичным (lg) правила перехода становятся следующими:

а) ln b = lg b · ln 10 2,30 lg b;

б) ld b = lg b · ln 10 3,32 lg b.

Наиболее распространенным основанием логарифмов является 10, а соответствующие логарифмы называются десятичными. Эти логарифмы наиболее подходят для десятичной системы счисления, используемой в современной математике. Нахождение десятичного логарифма числа можно осуществить с помощью логарифмической линейки, микрокалькулятора, имеющего соответствующую операцию, или по таблицам логарифмов.

СВЕДЕНИЯ ИЗ ФИЗИКИ И АСТРОНОМИИ

1. Основные единицы измерений системы СИ:

1) единица длины – метр (м),

2) единица массы – килограмм (кг),

3) единица времени – секунда (с),

4) единица электрического тока – ампер (А),

5) единица температуры – кельвин (К),

6) единица силы света – кандела (кд),

7) единица количества вещества – моль (М).

Дополнительные единицы системы СИ:

а) единица плоского угла – радиан (рад),

б) единица телесного угла – стерадиан (стер).

---

Дата добавления: 2015-07-24