Определение ИМ с отсчетом и с помехой. 2 страница

Полученное значение именуется астрономической единицей (а.е.) и принято за основу масштаба в Солнечной системе.

1 а. е. = 150 млн км = 1,5 · 10¹¹м.

Более точное значение 1,495985 · 10¹¹м.

Таким образом, расстояние от Земли до Солнца составляет 1 а. е. (по определению), от Солнца до Нептуна в среднем 30 а. е. (точнее – 30,07) и т.д.

2. Познакомьтесь с законом Боде, представляющим собой эмпирическую закономерность, позволяющую вычислять расстояние до планет. Расстояние Д от Солнца до n -й планеты (для Меркурия принимается ) находят по следующему выражению:

Д_п= 0,4 + 0,3 · 2 ^{n -2} а.е.

Проведите необходимые расчёты, результаты сравните с данными космических измерений и внесите в таблицу.

Примечание. Закон Боде предсказывал планету на расстоянии 2,8 а.е. (п=5), но её там нет, хотя именно здесь расположен пояс астероидов. В качестве пятого объекта обычно рассматривают крупнейший из астероидов – Цецеру (1000 км; масса 2 · 10^-4 массы Земли). Закон Боде даёт более точное расстояние до внутренних планет, менее точное – до внешних, начиная с Сатурна. Закон Боде не может правильно предсказать орбиту Плутона.

3. Познакомьтесь с космической единицей длины – парсеком. Один парсек (пк) – это расстояние до космического объекта, при котором угловой размер длины в одну а.е. составляет одну секунду. Слово «парсек» представляет собой сложное сокращение от слов «параллакс в секунду». В качестве базы (основание треугольника) используется 1 а.е. На практике измеряют двойное уклонение (двойной параллакс) звезды с промежутком времени в полгода. За это время Земля переносится из одной точки своей орбиты в противоположную, т.е. на расстояние в 2 а.е. по прямой.

Начертите чертеж, поясняющий изложенные данные по измерению параллакса звезды, и определите значение 1 пк в единицах СИ.

Ответ: 1 пк=3,09 · 10¹³ км.

На практике используются более крупные единицы, кратные парсеку: 1 кпк и 1 Мпк. Выразите их в км.

4. Познакомьтесь с третьей единицей космических расстояний – световым годом (св. год), т.е. расстоянием в космосе, которое свет проходит за один земной год. Выразите расстояние в 1 св. год в единицах СИ.

Ответ: 9,44 · 10¹² км.

Наиболее употребимая единица межгалактических расстояний – 1 млн св. лет. Например расстояние от нашей галактики до ближайшей крупной галактики – Туманности Андромеды – 2,2 млн св. лет.

5. Расстояние до ближайшей к Земле звезды – Проксимы Центавра – 4,2; до другой ярчайшей звезды – Сириуса – 8,80 св. года. Определите параллаксы этих светил.

Резюме

Расстояние L до звездных объектов во Вселенной можно с высокой точностью рассчитать по простой формуле:

,

где - параллакс объекта, выраженный в угловых единицах. Угол между направлениями телескопов на светила определяют с высокой точностью, до 0,01 – 0,001 доли секунды дуги. Потребности практики способствовали развитию методов космической метрологии до уровня, обеспечивающего успешное решение астрономических задач.

Контрольные вопросы

1. Для каких расстояний рационально использовать а.е.? пк?

2. Каково соотношение между 1 пк и 1 св.годом?

Литература

1. Силк Дж. Большой взрыв. Рождение и эволюция Вселенной / Пер. с англ. – М.: Мир, 1982.

Средние расстояния от Солнца до планет, а.е.

Расстояние (Д)	Меркурий (n = 1)	Венера (n = 2)	Земля (n = 3)	Марс (n = 4)	Цецера (n = 5)	Юпитер (n = 6)	Сатурн (n = 7)	Уран (n = 8)	Нептун (n = 9)	Плутон (n = 10)
Опытное	0,39	0,72	1,00	1,52	2,77	5,20	9,53	19,20	30,10	39,50
Расчетное по закону Боде

Практическая работа 19
Настоящее и будущее Вселенной
Часть 1

Вводная часть

По словам одного из основоположников современной космологии А. Эйнштейна: «Самое удивительное во Вселенной то, что она познаваема». И хотя до построения строгой теории происхождения и развития Вселенной еще далеко, используемые для ее познания математические модели, подкрепленные арсеналом новейших методов космических наблюдений, существенно обогатили наше представление о мироздании. Эти представления являются продуктом науки ХХ в., базирующейся на новейших открытиях в физике и астрономии в первой трети столетия и достижениях современной научно-технической революции, охватившей вторую половину ХХ – начало ХХI столетия.

С точки зрения механики, а именно – динамики, основными характеристиками Вселенной являются ее размер («радиус») и его изменения во времени, в том числе – время достижения современного размера (т.е. «возраст» Вселенной).

Понятия «возраст» и «радиус» Вселенной на современном этапе космологии остаются условными и пока не доказанными опытным путем. Тем не менее, они являются очень продуктивными, количественно оцениваемыми и указывают направление научных поисков.

Первым, кто применил достижения новейшей науки, а именно – общей теории относительности, к моделированию Вселенной, был автор этой теории А. Эйнштейн (1917 г.). Нестационарность решения заставила его ввести в уравнение поправку для обеспечения стационарности, что позднее, в 1932 г., было им совместно с В. Де Ситтером исправлено.

Однако еще ранее, в 1922-1924 гг. отечественным ученым А. А. Фридманом были получены верные нестационарные решения данной задачи для разных условий. Независимо от Фридмана французский космолог Ж. Леметр получил в 1927 г. аналогичное решение, верность которого была косвенно подтверждена открытием в 1929 г. американским астрономом Э. Хабблом расширения Вселенной. Это позволило Ж. Леметру сформулировать в 1931 г. гипотезу о происхождении Вселенной путем Большого взрыва. Эта гипотеза впитала большое количество новейших опытных и теоретических результатов и в настоящее время является общепризнанной. Основные выводы этой гипотезы в плане динамики Вселенной, как оказалось, могут быть получены на основе классической физики.

Ход работы

1. Используя данные практического занятия по теме «Космическая метрология», выразите постоянную Хаббла в единицах системы СИ.

Р е ш е н и е: Из закона Хаббла v = HL следует, что [ Н ] = с^-1, т.е. по физическому смыслу постоянная Хаббла – величина, обратная времени. Из космических наблюдений ее значение на сегодняшний день лежит в пределах:

.

Отсюда можно найти, что:

Среднее значение:

2. Пользуясь законом Хаббла, определите радиус Вселенной, т.е. расстояние до ее горизонта, привязывая последний к краевым галактикам, удаляющимся с максимальной (т.е. световой) скоростью.

О т в е т:

3. Определите возраст Вселенной из условной ретроспективы, что краевая галактика (см. п. 2) на протяжении истории Вселенной двигалась с постоянной скоростью из точки, давшей начало Вселенной.

О т в е т: млрд лет

4. Выведите основное уравнение динамики Вселенной, пользуясь классическим (ньютоновским) подходом.

Р е ш е н и е: Считая Вселенную скоплением равномерно распределенных в пространстве материальных точек, каждая из которых обладает как кинетической энергией (за счет собственного движения), так и потенциальной (за счет притяжения ко всем остальным галактикам), запишем выражение для полной энергии краевой (см. п. 2) галактики:

где m и М соответственно масса галактики и (остальной) Вселенной, v – скорость движения галактики, R – ее расстояние от условно выбранного центра, - гравитационная постоянная.

Примечания. 1. Записанное уравнение, как можно понять из приведенной в списке литературы, справедливо не только для краевой, но и для произвольной галактики во Вселенной. Поэтому в нем записана произвольная скорость v<<c,а под М понимается масса вещества Вселенной внутри сферической оболочки радиуса R.

2. Формула для потенциальной энергии легко получается из закона всемирного тяготения при дополнительном условии равенства этой энергии нулю на бесконечном удалении притягивающихся масс.

5. Считая Вселенную консервативной системой (т.е. сохраняющей во времени полную энергию) и рассматривая ее с позиций механической (ньютоновской) картины мира, получите характеристики эволюции Вселенной при условии E = 0.

Р е ш е н и е: Из выражения полной энергии галактики (п. 4) легко найти, что:

Таким образом, при получаем , а при

Зарисуйте график динамики R и объясните ход кривой. Это – так называемая модель критической Вселенной, или модель Эйнштейна – де Ситтера.

Выражение для v представляет дифференциальное уравнение для R, которое имеет решение в аналитическом виде:

.

Интегрируя, получаем:

Задав R (0) =0, имеем

Начертите график алгебраической зависимости R (t). Дальнейшее рассмотрение моделей эволюции Вселенной будет проведено на следующем занятии по данной теме.

Резюме

Классические подходы к моделированию динамики Вселенной позволяют получать основные качественные и количественные характеристики ее эволюции, вполне удовлетворяющие требованиям современной науки.

Контрольные вопросы

1. Какой параметр и почему наиболее ответственен за низкую точность оценки «радиуса» и «возраста» Вселенной?

2. Чему равен «радиус» Вселенной, выраженный в св. годах?

3. Какой оценке – минимальной или максимальной по величине – соответствует подход к определению «возраста» Вселенной, рассмотренный в работе?

4. Является критическая Вселенная стационарной или нет?

5. Исходя из формулы стационарной энергии галактики в поле тяготения Вселенной, выведите формулу Е _пот.= mgh для соответствующей энергии тела на высоте h над Землей, что известно из школьного курса физики (задание на дом).

Литература

1. Гинзбург В.А. Как устроена Вселенная и как она развивается во времени. – М.: Знание, 1968 (сер. «Физика, астрономия», № 7). – С. 19 – 41.

2. Силк Дж. Большой взрыв. – М.: Мир, 1982. – С. 332 – 337.

3. Климишин И.А. Астрономия наших дней. – М.: Наука, Физматгиз, 1980. – С. 409 – 420.

4. Николсон И. Тяготение, черные дыры и вселенная. – М.: Мир, 1983. – С. 173 – 210.

Практическая работа 20
Настоящее и будущее Вселенной
Часть 2

Вводная часть

В космологии теоретические построения и прогнозы существенно опережают опытные факты. Последние затруднительно установить для таких колоссальных масштабов пространства и времени, в пределах которых развертываются описываемые события. У ученых нет уверенности в справедливости для Вселенной в целом известных «законов природы», полученных при изучении земных процессов в пределах Солнечной системы. Вдобавок постановка натурного эксперимента в космосе для проверки конкретных космологических гипотез, как правило, невозможна. Поэтому науке приходится мириться с сосуществованием в настоящее время различных космологических гипотез, в том числе – и альтернативных, т.е. взаимно исключающих друг друга. Примером такого сосуществования являются так называемые сценарии будущего Вселенной.

Ход работы

1. Используя основное уравнение динамики Вселенной (см. Ч.1 данной темы), получите характеристики эволюции Вселенной, как консервативной системы, при условии Е > 0. Проанализируйте результаты.

Ответ: .

Как можно видеть, в сравнении со случаем критической Вселенной, здесь скорость разлета галактик больше. Кроме того, при R стремящимся к 0, очевидно стремление к бесконечности v, а при R стремящимся к бесконечности, в отличие от прежнего, .

График изменения R имеет вид (см. рис). Зарисуйте его в тетрадь и объясните ход. Такая модель называется моделью открытой Вселенной. Смысл слова «открытая» в данном случае означает неограниченное расширение во времени и пространстве.

2. По аналогии с п. 1 исследуйте эволюцию Вселенной для случая Е < 0.

Ответ:

Как можно видеть, в сравнении со случаем критической Вселенной, здесь скорость разлета галактик меньше. Кроме того, предельный размер Вселенной достигается за конечное время, а именно, в том момент времени, когда выполняется условие

расширение Вселенной прекращается (v = 0).

Очевидно, предельный радиус Вселенной по такой модели:

Прогнозируемое в данном случае прекращение расширения Вселенной не означает перехода ее в стационарное состояние. Из качественных соображений, очевидно, что достигнутое «равновесие» будет неустойчивым: Вселенная будет стремиться уменьшить потенциальную энергию (и увеличить кинетическую), т.е. начнет сжиматься.

Зарисуйте график изменения R для данной модели (см. Рис.), которая называется моделью закрытой Вселенной, и объясните его ход.

Если допустить полную симметричность эволюции и инволюции (т.е. обратного развития) Вселенной, то можно говорить о повторном сжатии последней в точку, а затем – о новом расширении и т.д. Это – модель так называемой пульсирующей Вселенной. Простейшая аналогия такой модели – движение шарика, брошенного вертикально вверх (над Землей) с некоторой начальной скоростью, в предположении консервативности системы.

3. Объедините случаи критической, открытой и закрытой Вселенной в едином аналитическом выражении для скорости v и представьте начальные части соответствующих графиков в единой системе координат.

Объясните, какой из графиков какой модели соответствует. Ввиду «молодости» нашей Вселенной наука пока не может точно установить, используя наблюдения за движением далеких галактик, какая модель правильно отражает состояние Вселенной.

Тем не менее, опытная проверка этих трех моделей (и, соответственно, трех сценариев будущего Вселенной) принципиально возможна. Однако необходимый для такой проверки методологический подход существенно отличается от рассмотренного выше. Он будет изучен в дальнейшей части работы.

4. Преобразуйте основное уравнение динамики Вселенной, введя в него величину плотности (вещества) Вселенной и используя закон Хаббла для выбранной галактики.

Р е ш е н и е: Учитывая, что v = HR, а где - плотность Вселенной, после подстановки и преобразований имеем:

Для Е = 0, как известно, справедлива модель критической Вселенной. Обозначив соответственную плотность через , найдем:

5. Выведите количественную оценку используя значения:

О т в е т:

Примечание. В научной и учебной литературе традиционно выражают космологические плотности в единицах г/см³.

6. Перепишите основное уравнение динамики Вселенной, подставив в него выражение для , и проанализируйте полученное соотношение.

О т в е т:

Поскольку выбор модели Вселенной и сценария ее будущего обусловлен величиной Е, а именно: либо Е = 0, либо Е > 0, либо Е < 0, мы приходим к критерию выбора:

1) - критическая Вселенная;

2) - открытая Вселенная;

3) - закрытая Вселенная.

В результате математической обработки современных опытных данных найдено, что

Сделайте вывод, какую из моделей Вселенных следует признать в настоящее время правильной, т.е. соответствующей данным опытов.

Примечание. Способы подсчета плотности Вселенной и гипотетические соображения о неполноте приведенной ее оценке можно почерпнуть из списка литературы.

Резюме

В настоящее время решение проблемы выбора модели Вселенной упирается в определение наиболее точной величины плотности вещества Вселенной.

Контрольные вопросы

1. Меняется ли плотность Вселенной при ее расширении?

2. Можно ли, исходя из современных знаний, предложить гипотезу многократных самоликвидаций и возрождений Вселенной?

Литература

1. Гинзбург В.А. Как устроена Вселенная и как она развивается во времени. – М.: Знание, 1968 (сер. «Физика, астрономия», № 7). – С. 19 – 41.

2. Силк Дж. Большой взрыв. – М.: Мир, 1982. – С. 332 – 337.

3. Климишин И.А. Астрономия наших дней. – М.: Наука, 1980. – С. 409 – 420.

4. Николсон И. Тяготение, черные дыры и Вселенная. – М.: Мир, 1983. – С. 173 – 210.

Практическая работа 21
Релятивистское движение.
Элементы специальной теории относительности (СТО)

Вводная часть

В классической механике Ньютона, если известны координаты X, Y, Z и время t в некоторой неподвижной системе, можно легко вычислить X´, Y´, Z´ и время t´ в инерциальной системе, движущейся относительно первой прямолинейно и равномерно в направлении одной из осей. При скорости движения v << с (скорость света) для движения вдоль оси X справедливы преобразования Галилея:

X´ = X – v t; y´ = y; z´ = z; t´ = t.

В классической механике течение времени и пространственные интервалы считались независимыми друг от друга и от состояния движения системы отсчета. Таким образом, объектом изучения в ньютоновской механике были или материальные точки, или точки пространства, или моменты времени.

Годом создания специальной теории относительности (СТО) считается 1905, когда А. Эйнштейн опубликовал статью «К электродинамике движущихся тел», которая произвела переворот в представлениях о пространстве и времени. Объектом СТО выступают физические события как целостные объекты, в которых объединены понятия материи, движения, пространства, времени. Согласно СТО, физической реальностью обладают не точки пространства и не моменты времени, а только сами события, определенные четырьмя числами X, Y, Z, t в виде законов в едином четырехмерном пространственно-временном континууме.

Ход работы

1. Познакомьтесь с первым постулатом СТО, суть которого заключается в следующем: во всех инерциальных системах отсчета все физические явления протекают одинаково (обобщенный принцип относительности). Этот постулат распространяет принцип эквивалентности инерциальных систем классической механики на широкий круг физических явлений. Приведите примеры из практики, демонстрирующие справедливость первого постулата СТО.

2. Познакомьтесь со вторым постулатом СТО: во всех инерциальных системах отсчета скорость света одинакова (принцип инвариантности скорости света). Движение тел со скоростью, близкой к скорости света, принято называть релятивистским (лат. relativus - относительный). Второй постулат СТО противоречит обыденному знанию («здравый смысл»), свидетельствующему, что результирующая скорость (v _рез) по отношению к Земле при движении системы и тела в одну сторону равна арифметической сумме скоростей:

v = v ₁ + v ₂,

где v ₁ – скорость системы; v ₂ – скорость тела.

Однако закон сложения скоростей в СТО имеет иное выражение:

,

где с – скорость света.

Пример. Ракета движется относительно Земли со скоростью v ₁ = с; с нее в направлении движения ракеты испускается луч света (v ₂ = с). Чему будет равна результирующая скорость луча относительно Земли?

3. Запишите некоторые из парадоксов СТО и получите численные оценки рассмотренных эффектов применительно к гипотетическим условиям.

· парадокс одновременности: два события, происходящие одновременно в разных местах одной системы отсчета, не являются одновременными в другой системе отсчета. Таким образом, понятие одновременности относительно, и ньютоновское «абсолютное время» лишено физического смысла.

· парадокс длины: длина тела (L)в направлении движения со скоростью v относительно системы отсчета и длина покоящегося тела (L₀) неодинаковы и связаны соотношением:

, где β = .

Примечание: подстрочным знаком «0» обозначены известные параметры.

Таким образом, длина тела в системе отсчета, относительно которой оно движется, меньше длины, измеренной в системе отсчета, где тело неподвижно (эффект релятивистского сокращения длины в направлении движения тела).

Пример. Космический корабль длиной 200 м летит со скоростью 2,4 · 10⁸ м/с относительно Земли. Какова длина корабля для неподвижного наблюдателя?

· парадокс времени: время протекания процесса в движущейся (t ₀) и неподвижной системе отсчета (t) неодинаковы и связаны соотношением:

.

Таким образом, темп протекания времени в движущейся системе отсчета замедляется в сравнении с темпом тех же процессов в неподвижных системах отсчета (эффект релятивистского замедления времени).

Пример. Петр и Иван – 20-летние близнецы, первый остался на Земле, второй отправился со скоростью 0,999 с в космическую экспедицию продолжительностью 2 св. года (по часам, движущимся вместе со звездолетом). Каким будет возраст близнецов при встрече?

· Зависимость массы тела от скорости его движения. В релятивистской физике считается, что чем выше скорость движения тела, тем труднее ее увеличить. Поскольку сопротивление изменению скорости тела называется его массой (инерционной), то отсюда следует, что масса тела возрастает с увеличением скорости его движения. В классической механике массу рассматривают как постоянную величину – это релятивистская масса покоя (m ₀). В СТО массу считают переменной величиной, зависящей от скорости движения:

Пример. Во сколько раз электрон, движущийся со скоростью v = 0,999 с, тяжелее покоящегося?

4. Познакомьтесь с важнейшими следствиями из постулатов СТО.

· пространственно-временной интервал. В ньютоновской механике пространственный (L) и временной (t) интервалы не зависят от преобразования координат. В СТО эти величины следует считать относительными – зависящими от движения наблюдателя. Однако объективность описания законов природы требует, чтобы объект изучения мог характеризоваться величинами, не зависящими от выбора систем отсчета. Такой величиной в СТО является пространственно-временной интервал S ₁₂ между событиями 1 и 2, включающий одновременно обе характеристики материальных процессов:

,

где L ₁₂ – пространственный, t ₁₂ – временной интервал между двумя событиями.

Неинвариантность пространственного и временного интервалов по отдельности и инвариантность единого пространственно-временного интервала соответствуют тому факту, что реальный мир четырехмерен, что время и пространство органически взаимосвязаны.

· закон взаимосвязи энергии и массы – соотношение между полной энергией (Е) изолированного от внешних воздействий тела и его массой:

Для покоящегося тела релятивистская механика дает Е ₀ = m ₀ c ². Здесь Е ₀ – энергия покоя, которой тело обладает благодаря самому факту своего существования. Ньютоновская механика не учитывает энергию покоя, которая включает в себя все виды энергии, присущие покоящемуся телу.

Уравнение Е = mc ² универсально. Какие бы взаимные превращения разных видов материи не имели места, произошедшему в системе изменению энергии соответствует эквивалентное изменение массы. Энергия и масса являются двумя однозначно связанными характеристиками материи.

---

Дата добавления: 2015-07-24