Задачи для самостоятельного решения

Динамика колебательного движения

1.

На горизонтальной пружине укреплено тело массы М = 10 кг, лежащее на абсолютно гладком столе. В это тело попадает и застревает в нем пуля массы m = 10 г, летящая со скоростью v = 500 м/с, направленной вдоль оси пружины. Амплитуда возникших при этом колебаний А = 0,1 м. Определите период возникших колебаний Т.

2. К одному концу первоначально недеформированной и неподвижной пружины жесткости k прикреплен груз массы m. Свободный конец пружины стали тянуть с постоянной скоростью, как показано на рисунке, пока он не переместился на расстояние d. Затем его резко остановили. При какой скорости этого конца пружины груз после остановки не будет колебаться?

3. Чашка пружинных весов массы m совершает гармонические колебания с амплитудой А. В некоторый момент времени на нее положили (без начальной скорости) груз массой М. В результате колебания прекратились. Определите первоначальный период колебаний Т.

4. Точку подвеса математического маятника длины L мгновенно приводят в движение в горизонтальном направлении с постоянной скоростью v, затем, после того, как она переместилась на расстояние S, мгновенно останавливают. При каком значении скорости v колебания маятника, возникшие с началом движения, прекратятся сразу же после остановки? Перед началом движения маятник покоился. Колебания маятника считать малыми.

5. Горизонтальная подставка совершает в вертикальном направлении гармонические колебания с амплитудой А. Какой должна быть циклическая частота w этих колебаний, чтобы лежащий на подставке предмет не отделялся от нее?

6. Одна из обкладок незаряженного плоского конденсатора площади S подвешена на пружине, вторая обкладка закреплена неподвижно. Расстояние между пластинами в начальный момент равно L₀. Конденсатор на короткое время подключили к батарее, и он зарядился до напряжения U. Какой должна быть жесткость пружины k, чтобы не произошло качания пластин в результате их взаимного притяжения после зарядки?

7. К одному концу первоначально недеформированной и неподвижной пружины жесткости k прикреплен груз массы m. Свободный конец пружины стали тянуть с постоянной скоростью, как показано на рисунке, пока он не переместился на расстояние d. Затем его резко остановили. При какой скорости этого конца пружины груз после остановки не будет колебаться?

Составьте дифференциальное уравнение гармонических колебаний и определите период колебаний следующих колебательных систем.

1.
Используем второй закон динамики Ньютона (для поступательного движения). Помним, что координата груза (отсчитываемая, кстати, от положения равновесия) не всегда равна удлинению пружины!!

Задача 1 Задача 2 Задача 3* Задача 4** Задача 5**

Задача 1 - очень просто! Не забудьте, что в процессе движения на груз действует не только пружина. В положении равновесия пружина деформирована, значит, координата груза и величина деформации пружины численно не совпадают.

Задача 2 - после первой задачи разобраться в этой ситуации не сложно. Действуем так же.

Задача 3 – (МФТИ) -казалось бы, что изменилось в сравнении с первой ситуацией! Пружина и нерастяжимый трос по-прежнему невесомы. Просто добавился невесомый блок. Физика существенно изменилась!

Вспомните не только кинематические, но и динамические связи!

Задача 4 – (МГУ) – пружин стало две, а нить по-прежнему невесома. Подумайте, как соединены между собой пружины, каковы силы упругости, возникшие в них. Ну и, конечно, не забудьте кинематические и динамические связи.

Задача 5 - несколько лет назад эта задача предлагалась на окружной олимпиаде. Конечно, не просто не забыть обо всем…

2.

Используем второй закон динамики вращательного движения.

Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4

Задача 1. Жестко соединенная конструкция из легкого стержня и небольшого по размерам шарика массой m может совершать колебания в вертикальной плоскости под действием пружины k, двигаясь при вращении без трения вокруг горизонтальной оси О. Пружина легкая, точка прикрепления ее к стержню делит его длину в отношении 1:2, считая от шарика. В положении равновесия шарик горизонтален, а ось пружины вертикальна. Найдите удлинение пружины в положении равновесия системы. Найдите период малых колебаний конструкции.

Задача 2. Жестко соединенная конструкция из легкого стержня и небольшого по размерам шарика массой m может совершать колебания под действием двух пружин жесткостью k₁ и k₂, двигаясь при вращении без трения вокруг вертикальной оси О по гладкой поверхности стола. Пружины легкие, их оси горизонтальны, а точки прикрепления их к стержню делят его на три равные части. В положении равновесия оси пружин перпендикулярны стержню, и пружина жесткостью k₁ растянута на величину L₁. Найдите деформацию второй пружины в положении равновесия. Найдите период малых колебаний конструкции.

Задача3. Металлический прут в форме дуги окружности радиусом L висит на двух легких нитях длиной L каждая. Масса прута равна m, его поперечное сечение постоянно. Угол между нитями 2b. Найдите силу натяжения нитей в положении равновесия. Найдите период малых колебаний такой «дуги» в вертикальной плоскости, совпадающей с плоскостью «дуги».

Задача 4. Как изменится частота колебаний математического маятника, представляющего собой груз на легкой пружине, если к середине стрежня прикрепить горизонтальную пружину жесткости k?

3. Дифференцируем закон сохранения механической энергии.

Для начала получите дифференциальное уравнение гармонических колебаний для уже исследованных и знакомых Вам колебательных систем: горизонтального и вертикального пружинногомаятников, математического маятника. Убедитесь в том, что в рассматриваемых ситуациях это равноценный математический прием.

Задача 1. Пружина жесткостью k одним концом присоединена к оси колеса массы m, которое способно катиться без проскальзывания, а другим концом присоединена к стенке. Какова частота колебаний системы? Масса колеса однородно распределена по ободу.

Задача 2. К ободу колеса с горизонтально расположенной осью прикрепили грузик массы m. Найдите массу колеса, предполагая ее однородно распределенной по ободу, если частота малых колебаний колеса с грузиком вокруг оси равна W, а его радиус равен R. (МГУ)

Задача 3. Найдите частоту колебаний тонкого обруча радиуса R, подвешенного на гвозде. Проскальзывания нет; колебания происходят в плоскости обруча.

Колебательные системы

1.

Жесткий диполь, длина которого L и концевые заряды q, помещен в однородное электрическое поле напряженностью Е. Определите период малых колебаний диполя в электрическом поле. Масса каждого из концевых зарядов m.

2. Бусинка массой m с зарядом q может двигаться без трения по натянутой нити длины 2L, на концах которой закреплены заряды Q. Найдите период малых колебаний бусинки относительно положения равновесия.

3. В модели атома Томсона предполагалось, что положительный заряд q, равный по модулю заряду электрона, равномерно распределен внутри шара радиусом R. Чему равен период колебаний (внутри шара, вдоль его диаметра) электрона, помещенного в такой шар? Масса электрона m.

4.

Доска массы m лежит на двух катках, вращающихся с большой угловой скоростью навстречу друг другу. Расстояние между осями катков L, коэффициент трения скольжения доски по катку m. Найдите частоту продольных колебаний доски.

5. Определите период малых колебаний ртути массы m = 200 г, налитой в U-образную трубку сечения S = 0,50 см². Плотность ртути r = 13,6×10 кг/м³.

6.

Найдите период малых колебаний поршня массы m, разделяющего гладкий горизонтальный цилиндрический сосуд сечения S на две части длины L каждая. По обе стороны поршня находится га при давлении p₀ и температуре Т₀. При колебании поршня температура газа не меняется.

Колебательные системы – 2

1.

Два грузика, скрепленные пружиной жесткости k, находятся на гладкой горизонтальной поверхности. Пружину сжимают и удерживают в деформированном состоянии двумя упорами. Упоры убирают.. Найдите период колебаний, которые возникнут в системе.

2.

Два грузика, скрепленные пружиной жесткости k, находятся на гладкой горизонтальной поверхности. Пружина не деформирована. Толчком одному из грузов сообщают скорость v₀. Опишите дальнейшее поведение системы. Найдите максимальную деформацию пружины.

3.

Тело массы m скреплено пружиной жесткости k с бруском массы M. Пружину сжимают, удерживая тела в неподвижном состоянии, а затем освобождают. Определите периоды колебаний Т₁ и Т₂ тела и бруска.

4.

На гладкой горизонтальной поверхности находится тележка массы М с установленным на ней математическим маятником длины L и массы m. Найдите период колебаний системы.

5. Найдите отношение частот колебаний молекулы Н₂ и молекулы НD (D – атом дейтерия).

6. В системе из задачи 1 убирают один из упоров (допустим, правый). Как будет зависеть от времени величина деформации пружины? Начальная деформация пружины DL.

Дата добавления: 2015-07-24