Пример 3.7

Для производства двух видов изделий P₁ и P₂ кооператив использует три вида сырья. Ниже в таблице указанны запасы сырья, нормы расхода сырья каждого вида на изготовление единицы продукции, а так же величина прибыли, получаемой от реализации единицы изделия каждого вида. Составить такой план выпуска изделий P₁ и P₂, при котором прибыль от реализации была бы наибольшей.

Виды сырья	Нормы расхода сырья на единицу изделия, кг	Запасы сырья
Р1	Р2
S 1 S 2 S 3
Прибыль от реализации единицы изделия, тыс. руб.

Решение. 1) Составим математическую модель задачи.

Пусть х ₁ и х ₂ – соответственно количество изделий вида Р₁ и Р₂, которое требуется произвести кооперативу. Очевидно, , . Исходя из заданных норм, на изготовление этой продукции потребуется кг сырья вида S ₁, кг сырья вида S ₂ и кг сырья вида S ₃. Учитывая ограниченные запасы каждого вида сырья, получим систему условий (обычно говорят – систему ограничений)

По условию, прибыль от реализации х ₁ единиц изделий Р₁ и х ₂ единиц изделий Р₂ составит тысяч рублей.

Таким образом, получили математическую модель исходной экономической задачи:

найти максимум функции при условиях

(3.1)

2) Решим эту задачу графическим методом.

Прежде всего, построим область допустимых решений, т.е. множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют системе (3.1). Это пятиугольник ОАВСD (рисунок 3.7).

Найдем точку области ОАВСD, в которой целевая функция принимает наибольшее значение. Для этого построим какую-либо линию уровня, например, при : . Найдем и построим вектор-градиент целевой функции

.

Перемещая линию уровня параллельно самой себе в направлении вектора , найдем точку, через которую проходит линия уровня, соответствующая наибольшему значению функции z. Из рисунка 3.7 видно, что это точка С. Координаты этой точки найдем, решая систему уравнений

(точка С является точкой пересечения прямых и ). Получим .

Тогда .

3) С экономической точки зрения этот результат означает следующее: для того, чтобы кооператив получил наибольшую прибыль в размере 1 150 000 рублей, ему необходимо из имеющегося сырья изготовить 50 единиц изделия Р₁ и 40 единиц изделия Р₂.

Метод наименьших квадратов

В практических применениях математики часто встречается такая задача. По результатам наблюдения или эксперимента получены значения двух величин х и у:

х	х 1	х 2	…	хп
у	у 1	у 2	…	уп

Предполагается, что у есть некоторая неизвестная функция аргумента х. Требуется найти функцию, которая приближенно представляла бы связь между х и у, т.е. задать формулу, связывающую между собой соответствующие значения переменных. Такая функция значительно облегчает анализ изучаемой зависимости. Формулы, служащие для аналитического представления опытных (эмпирических) данных называют эмпирическими формулами (от греч. έmpeirίa– опыт).

Выбор типа эмпирической формулы может быть осуществлен

– из каких-то теоретических соображений. Например, если известно, что величины примерно обратно пропорциональны, то ищут зависимость в виде формулы ; или если одна из величин есть периодическая функция другой с приближенно известным периодом, то можно искать формулу вида ;

– по расположению «экспериментальных» точек , на координатной плоскости. Например, если точки расположены на плоскости, как показано на рисунке 5.1, а, то можно предположить линейную зависимость, и искать ее в виде формулы ; если точки расположены, как на рисунке 5.1, б, то можно искать зависимость в виде . Но каким бы ни был вид эмпирической формулы, она обязательно содержит буквенные параметры (а, b, с, …), которые необходимо определить так, чтобы полученная формула наилучшим образом отражала связь между опытными данными.

Суть метода наименьших квадратов подбора эмпирической формулы заключается в следующем: нужно подобрать параметры а, b, с, … так, чтобы сумма квадратов отклонений экспериментальных значений от значений , вычисленных по выбранной формуле при соответствующих значениях , имела наименьшее значение.

Отклонения экспериментальных значений от «теоретических» (вычисленных по формуле) определяются разностью

.

Очевидно, чем меньше абсолютная величина отклонения, тем ближе экспериментальное значение к «теоретическому», тем лучше выбранная формула описывает связь между переменными х и у.

Реализуется метод наименьших квадратов для отыскания эмпирической зависимости следующим образом:

1) подбирается эмпирическая зависимость ;

2) составляется функция (сумма квадратов отклонений)

;

3) значения параметров а, b, с, …, при которых функция принимает наименьшее значение, находятся из системы (необходимые условия экстремума функции нескольких переменных)

Дата добавления: 2015-07-24