Пример 3.3

Найти стороны прямоугольника наибольшего периметра, вписанного в окружность радиуса 3

Решение. Введем систему координат так, как показано на рисунке 3.2. Тогда окружность имеет уравнение . Пусть 2 х и 2 у – стороны вписанного в эту окружность прямоугольника. Его периметр равен

.

По условию задачи, вершина прямоугольника лежит на окружности, следовательно, ее координаты удовлетворяют уравнению .

Тогда исходную задачу можно сформулировать так:

найти точку максимума функции при условии .

Таким образом, получили задачу на отыскание условного экстремума функции. Решим эту задачу методом множителей Лагранжа. Составим функцию Лагранжа

и найдем ее безусловный экстремум.

Необходимые условия экстремума в этом случае имеют вид

Решая эту систему, получим

откуда и . Но так как по условию задачи (х и у определяют длины сторон прямоугольника), то имеем единственную критическую точку при . Проверим выполнение достаточных условий экстремума. Имеем

, ,

,

отсюда .

При , т.е. в точке ,

, а ,

значит, точка М есть точка максимума функции и, следовательно, точка условного максимума функции .

Таким образом, из всех прямоугольников, вписанных в окружность радиуса 3, наибольший периметр имеет квадрат со стороной, равной .

Дата добавления: 2015-07-24