Пример 2.8

Найти полное приращение и полный дифференциал функции в точке , если.

а) ; б) ;

в) .

Оценить погрешность замены полного приращения дифференциалом в каждом из этих случаев.

Решение. Найдем полное приращение и полный дифференциал данной функции в точке М для произвольных значений приращений аргументов.

По определению, полное приращение функции равно

,

тогда в точке , т.е. при получим

.

Полный дифференциал функции в точке М, согласно информации 2.2.4, равен

,

где . Найдем частные производные функции :

, ,

откуда , . Тогда дифференциал данной функции в точке М равен

.

Для вычисления абсолютной погрешности D и относительной погрешности d будем использовать формулы:

D, d.

Тогда для каждой из заданных в условии задачи пар значений приращений аргументов получим следующие результаты.

а) При имеем

,

(т.к. ).

Отсюда абсолютная погрешность замены полного приращения функции ее дифференциалом будет равна D , а относительная погрешность d .

б) При имеем

,

Тогда абсолютная погрешность замены полного приращения дифференциалом равна D , а относительная погрешность d .

в) При получим

,

Тогда абсолютная погрешность замены приращения дифференциалом равна D , а относительная погрешность – d .

Замечание. Если сравнить величины погрешностей D и d соответственно в каждом из случаем а) – в), то можно установить, что они уменьшаются с уменьшением приращений . Это подтверждает тот факт, что при достаточно малых приращениях аргументов выполняется приближенное равенство , поэтому полное приращение можно приближенно заменять дифференциалом. Этот прием широко используется в приближенных вычислениях.

Пусть некоторая величина z является функцией двух переменных х и у: . Определяя каким-либо образом (приближенные) значения величин и , мы допускаем погрешности и , т.е. истинные значения х и у соответственно равны и . Тогда значение величины , вычисленное по приближенным значениям х ₀ и у ₀ аргументов, получается с погрешностью

.

Как оценить величину этой погрешности, если известны погрешности и аргументов?

Так как для малых справедливо приближенное равенство , то , откуда

.

Величину называют максимальной абсолютной погрешностью, а величину – максимальной относительной погрешностью, которую обычно выражают в процентах.

Дата добавления: 2015-07-24