Пример 3.2

Найти экстремум функции при условии .

Решение. Уравнение связи есть линейное уравнение относительно переменных х и у, из которого легко выразить одну переменную через другую, поэтому будем искать условный экстремум данной функции методом исключения.

Из уравнения выразим и подставим это значение у в функцию , получим функцию одной переменной:

,

,

.

Найдем экстремумы полученной функции. Область определения этой функции . Находим критические точки:

Þ Þ Þ

.

Проверим наличие экстремума в этих точках (смена знака производной при переходе через эти точки):

Из рисунка 3.1. видно, что в точке функция имеет максимум, а в точке эта функция имеет минимум, причем

,

.

Но точкам экстремума функции соответствуют точки одноименного условного экстремума исходной функции :

при получаем , откуда имеем точку ;

при получаем , откуда имеем точку .

Таким образом, в точке функция имеет условный максимум

,

а в точке эта функция имеет условный минимум

.

Дата добавления: 2015-07-24