Читайте также:
|
|
Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области, ограниченной линиями
,
,
.
Решение. Для наглядности построим область. Каждое из уравнений
,
,
определяет на плоскости прямую; построив эти прямые получим искомую область – треугольник АОВ (рисунок 3.3, обозначим эту область Q). Заметим, что областью определения заданной функции является вся плоскость ХОУ, значит, эта функция определена в области Q.
Будем решать задачу, используя аналитический метод. Найдем критические точки функции. Имеем
,
.
Эти производные не существуют при , следовательно, точка
– критическая точка функции. Но, очевидно, условия
приводят к той же точке
. Значит, других критических точек функция
не имеет.
Точка принадлежит области Q и является «угловой» точкой этой области. Вычислим значение функции в этой точке:
.
Исследуем функцию на границе области Q.
а) Участок АВ границы имеет уравнение , или
, где
. Подставив это значение у в функцию
, получим функцию одной переменной
,
.
Найдем критические точки этой функции
.
Легко убедиться, что дискриминант квадратного трехчлена отрицателен, поэтому производная
определена на всем промежутке
. Значит, критические точки функции
находим только из условия
, т.е. решив уравнение
, откуда
. Из уравнения
находим
и получаем точку
, лежащую на участке АВ границы области Q. Вычислим значение функции
в этой точке
.
б) Аналогично рассмотрим участок ВО, на нем ,
, функция
примет вид
(т.к.
).
Тогда , критических точек нет.
в) На участке ОА , подставив это значение в функцию
, получим
(т.к.
в области Q),
,
следовательно, на этом участке границы также нет критических точек.
«Угловыми» точками области Q, наряду с точкой , являются точки А
и В
, вычислим значения функции в этих точках:
,
.
Сравнивая все полученные значения функции
,
,
,
,
приходим к выводу, что наименьшее значение функции равно нулю и достигает его функции в точке , а наибольшее значение равно 8, достигается в точке В
. Итак,
,
.
Дата добавления: 2015-07-24; просмотров: 112 | Нарушение авторских прав
<== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
Пример 3.3 | | | Пример 3.5 |