Пример 3.5

Найти графически наибольшее и наименьшее значения функции в области Q, ограниченной линиями , , .

Решение.

Используем алгоритм графического метода (информация 3.2.8).

Построим линии , , , ограничивающие область Q. Получим треугольник АВС (рисунок 3.4).

Р

Линии уровня функции имеют уравнение , или . Очевидно, это параболы с вершинами в точках , осью симметрии ОУ, ветви которых направлены вверх. Построим несколько линий уровня, например, при , , , , (рисунок 3.4).

Нам необходимо определить, через какую точку области Q пройдет линия уровня с наибольшим возможным значением С, а через какую – с наименьшим. Нетрудно заметить, что с возрастанием С вершина параболы – линии уровня – поднимается вдоль оси ОУ все выше вверх и последняя из этих линий, проходящая через точки области Q, коснется границы области в точке Р . В этой точке и достигается наибольшее значение функции, которое равно

.

Наоборот, при убывании значения С вершина параболы опускается вниз, и последняя точка области Q, через которую пройдет линия уровня с наименьшим значением С, будет точка В – точка пересечения граничных линий области. Ее координаты можно найти, решая систему уравнений этих линий: откуда , . Таким образом, точка В имеет координаты . Наименьшее значение функции в заданной области равно

.

Замечание. Графический метод особенно удобен для отыскания наибольшего и наименьшего значений линейной функции . В этом случае искомые точки лежат на границе области и чтобы их найти, поступают так. Строят произвольную линию уровня (прямая) и градиент данной функции (этот вектор, как известно, указывает направление возрастания функции, а для линейной функции градиент имеет постоянное направление). Перемещая линию уровня в направлении градиента, находят точку границы (рисунок 3.5), через которую линии уровня входят в область (точка наименьшего значения функции) и точку, через которую линии уровня выходят из области (точку наибольшего значения функции).

Дата добавления: 2015-07-24