Пример 2.6

В точке для заданного скалярного поля найти градиент и производную в направлении вектора , а также наибольшую скорость роста поля при переходе через точку М.

Решение. Скалярное поле задано функцией , значит, производная по направлению и градиент поля – это производная по направлению и градиент заданной функции.

Используем определение: градиент функции – это вектор с координатами . Найдем частные производные данной функции:

.

.

Вычислим значения этих производных в точке :

, .

Следовательно, градиент функции в точке М равен

.

Напомним, что градиент имеет простую физическую интерпретацию: этот вектор показывает направление, в котором при переходе через точку М скалярное поле растет быстрее всего.

Найдем производную функции в направлении заданного вектора, используя формулу:

,

где .

Вычислим направляющие косинусы вектора :

,

.

Тогда производная по направлению в произвольной точке имеет вид

.

В точке эта производная равна

.

С физической точки зрения, этот результат означает следующее: поскольку производная по направлению характеризует скорость изменения скалярного поля в заданном направлении, то в нашем случае скалярное поле при переходе через точку М убывает в направлении вектора .

Как уже отмечалось, скалярное поле при переходе через точку М возрастает быстрее всего в направлении градиента этого поля, при этом наибольшая скорость роста поля равна модулю градиента. Поэтому находим

,

таким образом, наибольшая скорость роста скалярного поля в точке М численно равна .

Дата добавления: 2015-07-24