Плоскость в пространстве.

Теорема. Любая плоскость в пространстве является поверхностью 1-го порядка и любая поверхность 1-го порядка вы пространстве есть плоскость. (т.е. плоскость задается уравнением 1-й степени с тремя переменными).

Доказательство.

Найдем уравнение плоскости, проходящей через данную точку М₀(х₀;у₀;z₀) перпендикулярно заданному вектору.

Вектор n =A i +B j +C k - нормальный вектор плоскости (вектор нормали).

Множество всех точек пространства разбивается на три подмножества: точек, принадлежащих плоскости и точек, расположенных по одну и по другую стороны плоскости.

Пусть М(х;у;z) – произвольная точка пространства. Какому из этих подмножеств принадлежит точка М зависит от знака скалярного произведения nM₀M.

Если точка М принадлежит плоскости, то M₀M =(x-x₀;y-y₀;z-z₀) n. Следовательно, n·M₀M= 0. Т.е.

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 причем А²+В²+С²¹0, т.к. вектор n – ненулевой.

Преобразуем это уравнение:

Ax+Ву+Сz-Аx₀-By₀-Cz₀=0 Обозначим D=-Аx₀-By₀-Cz₀

Ax+Ву+Сz+D=0 (1) – общее уравнение плоскости.

Т.о. любой плоскости в пространстве соответствует уравнение первой степени относительно переменных х,у,z.

Докажем 2-е утверждение, т.е. что при любом выборе параметров А, В и С уравнению (2) соответствует некоторая плоскость в пространстве.

Зафиксируем произвольную декартову прямоугольную систему координат Охуz и рассмотрим произвольное уравнение первой степени с тремя переменными:

Ax+Ву+Сz+D=0 (А²+В²+С²¹0)

Это уравнение имеет хотя бы одно решение х₀;у₀;z₀, т.е. существует хотя бы одна точка М₀(х₀;у₀;z₀), координаты которой удовлетворяют уравнению (1):

Ax₀+Ву₀+Сz₀+D=0 (2)

Вычитая из уравнения (1) тождество (2), получим уравнение, эквивалентное (1):

A(х-x₀)+В(у-у₀)+С(z-z₀)+D=0 (3)

Достаточно доказать, что уравнение (3) определяет относительно системы Охуz некоторую плоскость. Покажем, что уравнение (3), а значит и (1), определяет относительно системы Охуz плоскость p, проходящую через точку М₀(х₀;у₀;z₀) и перпендикулярную вектору n ={А;В;С} (т.к. А²+В²+С²≠0, то вектор n – ненулевой).

Если точка М(х,у,z) лежит на плоскости p, то ее координаты удовлетворяют уравнению (3), т.к. в этом случае векторы n ={А;В;С} и ={ х-х₀;y-y₀;z-z₀} ортогональны и их скалярное произведение n =0 Þ (х-х₀)А+(y-y₀)В+(z-z₀)С=0.

Если же М(х,у,z) не лежит на плоскости p, то ее координаты не удовлетворяют уравнению (3), т.к. в этом случае векторы n ={А;В;С} и ={ х-х₀;y-y₀;z-z₀} не ортогональны и их скалярное произведение (х-х₀)А+(y-y₀)В+(z-z₀)С не равно нулю. Ч.т.д.

Ax+Ву+Сz+D=0 (1) (1) – общее уравнение плоскости.

n ={А;В;С} – нормальный вектор плоскости.

Замечание. Если два общих уравнения Ax+Ву+Сz+D=0 и А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 определяют одну и ту же прямую, то найдется такое число t, что

A₁=At, B₁=Bt, C₁=Ct, D₁=Dt (4)

Действительно, т.к. плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 и А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 совпадают, то векторы n ={А;В;C} и n₁ ={А₁;В₁;C₁} коллинеарны, следовательно, по условию коллинеарности векторов, найдется такое число t, что n₁ = n tÞиз линейного свойства координат вектора следуют первые три равенства (4). Т.к. плоскости совпадают, то они имеют общую точку М₀(х₀;у₀;z₀). Т.е. Ах₀+Ву₀+Сz₀+D=0 и А₁х₀+В₁у₀+С₁z₀+D₁=0. Вычитая из 2-го равенства 1-е, умноженное на t, получаем (At-А₁)х₀+(Bt-В₁)у₀+(Ct-С₁)z₀+(Dt-D₁)=0ÞDt-D₁=0ÞDt=D₁.

Т.о. общее уравнение плоскости, как и нормальный вектор плоскости, определяется с точностью до ненулевого числового множителя.

Дата добавления: 2015-07-20