Канонические уравнения прямой.

Найдем уравнение прямой L, проходящей через точку М₀(х₀;у₀;z₀) параллельно вектору q =(l;m;n) - направляющий вектор прямой.

Пусть М(х;у;z) – переменная точка прямой. Тогда вектор М₀М =(x-x₀) i +(y-y₀) j +(z-z₀) k || q =(l;m;n).

Учитывая условие параллельности векторов получаем:

(2) – каноническое уравнение прямой.

В канонических уравнениях (2) одно или два из чисел l,m и n могут быть равны нулю (все три не могут равняться нулю, т.к. вектор q ={l,m,n} – ненулевой). Всякую пропорцию понимаем как равенство ad=cb. Тогда обращение в нуль одного из знаменателей в (2) означает обращение в нуль и соответствующего числителя. Так, например, если l=0, то m¹0 и из равенства l(y-y₀)=m(x-x₀) Þх-х₀=0, т.е. х=х₁ – уравнение прямой, параллельной оси Ох.)

Если прямая задана своими общими уравнениями

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 (1)

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0,

то направляющий вектор прямой q ортогонален каждому из нормальных векторов n₁={A₁;B₁;C₁}, n₂={A₂;B₂;C₂}. Так что можно положить вектор q ={l,m,n} равный векторному произведению векторов n₁ и n₂:

q = n₁×n₂={ ; - ; }={B₁C₂-B₂C₁;A₂C₁-A₁C₂;A₁B₂-A₂B₁}

Чтобы из общих уравнений (1) получить канонические уравнения (2), необходимо кроме направляющего вектора q найти хотя бы одну точку М₀(х₀;у₀;z₀), через которую проходит прямая.

Пример.

Дата добавления: 2015-07-20