Условие принадлежности двух прямых к одной плоскости.

Прямые лежат в одной плоскости. если они 1) пересекаются;2) параллельны.

Для принадлежности прямых L₁: и L₂: одной плоскости Û чтобы векторы М₁М₂ ={x₂-x₁;y₂-y₁;z₂-z₁}, q₁ ={l₁;m₁;n₁} и q₂ ={l₂;m₂;n₂} были компланарны. Т.е., по условию компланарности трех векторов, смешанное произведение М₁М₂·s₁·s₂ =Δ= =0 (8)

Т.к. условие параллельности двух прямых имеет вид: , то для пересечения прямых L₁ и L₂ Û, чтобы они удовлетворяли условию (8) и чтобы нарушалась хотя бы одна из пропорций .

Пример. Исследовать взаимное расположение прямых:

L₁: , L₂:

Направляющий вектор прямой L₁– q₁ =(1;3;-2). Прямая L₂ задана как пересечение 2-х плоскостей α₁: х-у-z+1=0; α₂: x+y+2z-2=0. Т.к. прямая L₂ лежит в обеих плоскостях, то она, а значит и ее направляющий вектор, перпендикулярна нормалям n₁ и n₂. Следовательно, направляющий вектор s₂ является векторным произведением векторов n₁ и n₂, т.е. q₂ = n₁ х n₂ = =- i -3 j +2 k.

Т.о. s₁ =- s₂, значит прямые или параллельны, или совпадают.

Чтобы проверить совпадают ли прямые, подставим координаты точки М₀(1;2;-1) L₁ в общие уравнения L₂: 1-2+2+1=0 – неверные равенства, т.е. точка М₀ L_2,

1+2+4-2=0

следовательно прямые параллельны.

Дата добавления: 2015-07-20