Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых.

Пусть прямые L₁ и L₂ заданы своими каноническими уравнениями

L₁: и L₂:

с направляющими векторами: q₁ =(l₁;m₁;n₁) и q₂ =(l₂;m₂;n₂).

Угол между прямыми L₁ и L₂ может быть определен как угол между векторами s₁ и s₂, т.е. (L₁^{^}L₂)=(q ₁^{^} q₂). Тогда

сosφ= , т.е. сosφ= (4)

Условие параллельности прямых в пространстве.

L₁||L₂ q ₁|| q₂ (5)

Условие перпендикулярности прямых в пространстве.

L₁ L₂ q₁ q₂ q₁ · q₂ =0 l ₁l₂+m₁m₂+n₁n₂=0 (6)

Выберем на прямых L₁ и L₂ точки М₁(х₁;у₁;z₁) и М₂(х₂;у₂;z₂) соответственно. Тогда канонические уравнения будут иметь вид:

L₁: и L₂:

Если прямые L₁ и L₂ совпадают, то их направляющим векторам коллинеарен и вектор М₁М₂, т.е. (7)

Это двойное равенство означает, что точка М₂ L₁. Следовательно, условием совпадения прямых является выполнения одновременно равенств (5) и (7).

Если прямые L₁ и L₂ пересекаются или скрещиваются, то их направляющие векторы неколлениарны, т.е. условие (5) нарушается.

Дата добавления: 2015-07-20