Расстояние от точки до плоскости. Даны плоскость p и произвольная точка и точка М0(х0;у0;z0), не лежащая на ней

Даны плоскость p и произвольная точка и точка М₀(х₀;у₀;z₀), не лежащая на ней. Выберем для плоскости единичный нормальный вектор n с началом в некоторой точке М₁(х₁;у₁;z₁)Îp, пусть d=ρ(M₀,L) – расстояние от точки М₀ до плоскости p. Тогда (рисунок)

ρ(M₀,L)= = (13), т.к. =1.

Если плоскость p задана в прямоугольной системе координат своим общим уравнением: Ах+Ву+Сz+D=0, то ее нормальный вектор имеет координаты {А;В;C}. В качестве единичного нормального вектора можно выбрать n = .

Т.к. М₁(х₁;у₁;z₁)Îp, то выполняется равенство Ax₁+Ву₁+Сz₁+D=0.

={x₀-x₁;y₀-y₁;z₀-z₁}. Записывая скалярное произведение n в координатной форме, получаем:

ρ(M₀,L)= = = =

=

d=ρ(M₀,Π)= (14)

Пример. Найти длину высоты треугольной пирамиды, если известны координаты ее вершин.

Найти расстояние между параллельными плоскостями.

Определение. Отклонением d точки М₀(х₀;у₀;z₀) от плоскости p называется число + d в случае, когда точка М₀ и начало координат О лежат по разные стороны от плоскости p, и число –d, когда точки М₀ и О лежат по одну сторону от плоскости p.

Если начало координат О лежит на плоскости p, то полагают отклонение равным +d в том случае, когда точка М₀ по ту сторону от p, куда направлен нормальный вектор n, и равным -d в противном случае.

Теорема. (с. 142) Пусть плоскость p задана нормированным уравнением

х cos a+у cos b+ z cos g-р=0 (13). Тогда отклонение точки М₀(х₀;у₀;z₀) от плоскости p, равно:

d=х cos a+у cos b+ z cos g-р (14)

Формула (14) позволяет найти и расстояние от точки до плоскости.

Пример. Найти длину высоты пирамиды.

Дата добавления: 2015-07-20