Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Рассмотрим некоторую поверхность S и на ней точку (рис. 12).

Плоскость называется касательной плоскостью к поверхности S в точке на ней, если расстояние от переменной точки поверхности S до этой плоскости, при стремлении расстояния к нулю, является бесконечно малой высшего порядка, чем .

Можно дать и другое определение этому понятию.

Если через точку на поверхности S провести множество гладких кривых, то все касательные к этим кривым в точке лежат в плоскости, которая является касательной плоскостью к поверхности S.

Для того чтобы поверхность в точке , где , имела касательную плоскость, необходимо и достаточно, чтобы при и функция была дифференцируема.

Уравнение касательной плоскости к поверхности, заданной уравнением , в точке , лежащей на этой поверхности:

или

.

Вектор нормали к касательной плоскости, то есть , называется вектором нормали (или нормалью) к поверхности в точке .

Уравнение нормали имеет вид:

Касательная плоскость к поверхности, заданной неявно уравнением в точке , лежащей на этой поверхности, определяется уравнением

а нормаль к поверхности в точке – уравнениями

Пример 16. К поверхности провести касательные плоскости, параллельные плоскости .

Решение. Уравнение поверхности имеет вид . Найдём частные производные:

Нормальный вектор заданной плоскости . Нормальный вектор искомой касательной плоскости

Из условия параллельности касательной и заданной плоскостей следует, что , т.е. их координаты пропорциональны:

Присоединим к данным уравнениям уравнение поверхности и найдём координаты точек касания:

Подставляя найденные значения в уравнение поверхности, получаем:

откуда

Следовательно, получаем две точки касания с координатами и , через которые проходят две плоскости, являющиеся касательными к данной поверхности. Их уравнения имеют вид:

т.е.

и

Пример 17. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к параболоиду в точке .

Решение. = . Находим

Тогда, подставляя эти значения в уравнение

,

получим уравнение касательной плоскости к параболоиду в заданной точке:

или .

Вектор является вектором нормали к параболоиду в заданной точке. Поэтому уравнение нормали будет следующим:

Дата добавления: 2015-07-20