Формула Тейлора

Из теории функций одной переменной мы знаем, что если функция в точке имеет производные до порядка включительно, то она может быть разложена в окрестности этой точки по формуле Тейлора следующим образом:

где – остаточный член (в форме Лагранжа), .

Положив

, ,

и вспомнив, что

,

эту формулу можно переписать в виде

,

Именно эту формулу мы и применим для случая функции многих переменных.

Для простоты записи ограничимся случаем функции двух переменных.

Пусть в окрестности некоторой точки функция имеет непрерывные производные всех порядков до -го включительно. Придадим значениям переменных и некоторые приращения и , такие, чтобы отрезок прямой, соединяющий точки и не вышел за пределы рассматриваемой окрестности точки .

Введем новую независимую переменную , , положив

, .

Эти формулы задают некоторый прямолинейный отрезок, соединяющий точки и .

Подставив эти выражения для и в функцию , получим сложную функцию одной переменной :

.

Но тогда

.

А – функция одной переменной и в точке имеет непрерывные производные до порядка включительно, следовательно, она может быть разложена в окрестности этой точки по полученной выше формуле Тейлора следующим образом:

, .

При этом дифференциал , входящий в правую часть формулы в различных степенях, равен .

Известно, что при линейной замене переменных свойство инвариантности формы дифференциала имеет место и для высших дифференциалов. Поэтому, можно записать, что

,

,

и т.д. И для -го дифференциала будем иметь формулу

Заметим, что здесь дифференциалы и ничем не отличаются от ранее взятых приращений и , т.к.

, .

Тогда для функции справедлива формула

(17)

,

называемая формулой Тейлора в дифференциальной форме.

Заметим, что фигурирующие в этой формуле справа дифференциалы переменных и (скрытые в дифференциалах функции) равны именно тем приращениям и независимых переменных, которые и породили приращение функции, стоящее в левой части формулы.

Легко теперь получить и записать формулу Тейлора (в дифференциальной форме) для функции любого количества независимых переменных.

Хотя в дифференциальной форме формула Тейлора (17) для случая функции многих переменных выглядит так же просто, как и для случая функции одной переменной, в развернутом виде она гораздо сложнее. Вот как выглядят первые три ее члена для функции двух переменных:

В частном случае, при и , из формулы Тейлора получаем формулу Маклорена:

,

или, т.к. тогда

, а ,

Приведем несколько примеров разложения функций по формуле Тейлора (в данном случае – Маклорена):

1. ,

2. ,

3. .

---

Дата добавления: 2015-07-20