Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Определение: Плоскость, в которой распложены все касательные к линиям на поверхности, проходящим через точку касания M₀, называется касательной плоскостью к поверхности в точке M₀.

Если уравнение поверхности задано в виде z=f(x,y), точка M₀(x₀,y₀) и f(x₀,y₀) принадлежат поверхности, точка M₀ – точка касания, тогда уравнение касательной плоскости имеет вид: .

Пусть имеем поверхность, заданную уравнением вида F(x,y,z)=0, точка M₀(x₀,y₀,z₀) – точка касания, тогда уравнение касательной плоскости имеет вид:

Каноническое уравнение прямой в пространстве

Определение: Нормалью к поверхности называется прямая перпендикулярная касательной плоскости и проходящая через точку касания.

Так как нормаль перпендикулярна касательной плоскости, то в качестве направляющего вектора можно взять вектор нормали на касательной плоскости (координаты вектора нормали - это частные производные.)

Тогда уравнение нормали имеет вид: ;

Пример: Написать уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности в точке M₀(1,2,-1).

Дата добавления: 2015-07-24