Частные производные высших порядков.

Пусть функция двух переменных имеет частные производные и , которые тоже зависят от двух переменных x и y Þ их тоже можно продифференцировать.

Определение: Частная производная от частных производных называются частными производными второго порядка. , , . , , , .

Аналогично можно ввести понятие частного производного 3, 4 и высших порядков.

Теорема: Если функция непрерывна в месте с частным производным до второго порядка включительно, то смешанные производные второго порядка равны между собой.

Дифференцирование сложной функции, инвариантность формы 1 дифференциала.

Пусть функция z=f(x,y) дифференцируема по x и по y, дифференцируем по t, тогда функция z в конечном итоге зависит от переменной t, следовательно её можно продифференцировать по t.

разделим dz на dt

Пример:

Инвариантность (неизменность дифференциала первого порядка)

Пусть z=f(x;y) Все функции предполагаются дифференцируемыми. Рассмотрим дифференциал от такой функции. = = |раскроем скобки, перегруппируем слагаемые и вынесем общие множители du и dv| = = =

Вывод: Форма дифференциала первого порядка не изменяется если функция является сложной. Дифференциалы высших порядков этим свойством не обладают.

Дата добавления: 2015-07-24