Производная по направлению и градиент.

Рассмотрим функцию в некоторой области D пусть точка M₀(x₀, y₀) ÎD рассмотрим вектор с началом в точке M₀. Направление вектора задают две направляющих косинуса: и - это направляющие вектора . Причем cos²a+cos²b=1, - это единичный вектор направляющие l имеет координаты l₀(cos a, cos b). Дадим вдоль вектора l приращение Dl (x₀, y₀).

Функция получит полное приращение.

, разделим и перейдём к пределу .

Производной f(x,y) по направлению `l в точке M₀ называют число так как , .

Если дана функция трех переменных u=u(x,y,z), точка M₀(x₀,y₀,z₀), `l ={x,y,z}. Тогда производная по направлению имеет вид , где направляющие cos: , , .

Определение: Градиентом функции u=u(x,y,z) в точке M₀ называют вектор, имеющий своими координатами значение частных производных функции в точке M₀.

Обозначается: =

С одной стороны производная по направлению равна скалярному произведению градиента функции на вектор `l₀: . С другой стороны: = grad u.

Если `qrad ^`е, то производная по направлению равна нулю.

Если `grad `е, то производная по направлению принимает максимальное значение.

Вывод: градиент функции показывает направление наибыстрейшего роста функции в точке.

Дано: функция, точка и вектор

Вычислить: производную по направлению, grad и длину grad.

, M₀(1, 1, 1), `l={1, 2, -2}

Дата добавления: 2015-07-24