Уравнение касательной

Рассмотрим случай касательной к овальной квадрике, (D = 0).

4∙(А ^Т∙ Q ^Т∙ В)² - 4∙(А ^Т∙ Q ∙ А)∙(В ^Т∙ Q ∙ В)=0 (А ^Т∙ Q ^Т∙ В)² - (А ^Т∙ Q ∙ А)∙(В ^Т∙ Q ∙ В)=0.

Если точку А фиксировать, а точку В сделать переменной тогда уравнение касательной к квадрике, проведенной из точки А, будет следующим: (А ^Т ∙Q ^Т ∙ Х) ² - ( А ^Т ∙Q∙ А ) ∙ ( Х ^Т ∙Q∙ Х ) = 0 (**)

Фактически это уравнение является квадратичной формой и в то же время уравнением прямой, то есть распадается на прямые. Проанализируем это уравнение для случая, когда точка А принадлежит квадрике и не принадлежит квадрике.

· А КВП А ^Т∙ Q ∙ А = 0 (А ^Т∙ Q ^Т∙ Х)² = 0 - квадратичная форма (**) распалась на две совпавшие прямые. Т.о. А ^Т∙ Q ^Т∙ Х =0 - уравнение касательной.

· А КВП.

(А ^Т∙ Q ^Т∙ Х)² - (А ^Т∙ Q ∙ А)∙(Х ^Т∙ Q ∙ Х) = 0 - ранг этой квадратичной формы не может равняться 3 потому, что это прямые, а значит квадратичная форма должна быть вырожденной. Так же ранг этой квадратичной формы не может быть равен 1. Докажем это от противного.

Пусть ранг (**) равен 1, тогда она распадается на две совпавшие прямые

(А ^Т∙ Q ^Т∙ Х)² - (А ^Т∙ Q ∙ А)∙(Х ^Т∙ Q ∙ Х) = (и ∙ Х)²

Х ^Т∙ Q ∙ Х = ((А ^Т∙ Q ^Т∙ Х)² - (и ∙ Х)²)= ((А ^Т∙ Q ^Т∙ Х)- и ∙ Х) ((А ^Т∙ Q ^Т∙ Х)+ и ∙ Х)

овальная квадрика Х ^Т∙ Q ∙ Х распалась на линейные множители, на прямые - это противоречие. Т.о. ранг (**) равен 2, т.е. это или две пересекающиеся прямые или две мнимые прямые пересекающиеся в одной действительной точке.

Вывод: Если точка принадлежит квадрике, то через неё можно провести только одну касательную. Если точка не принадлежит квадрике, то касательных или две или ни одной.

Определение: Точка называется внешней относительно квадрики, если через нее можно провести две касательных и внутренней, если касательных нет.

Лемма. Пусть дана овальная квадрика х₁ ²+ х₂ ² -х₃ ²=0 и точка . Точка является внутренней точкой овальной квадрики тогда и только тогда, когда а₁ ²+ а₂ ² -а₃ ² < 0 (если а₁ ²+ а₂ ² -а₃ ² > 0 - внешней).

Доказательство. (Самостоятельно).

Задача. Дана квадрика 2 ∙ х₁ ²+ х₃ ²-2 ∙ х₁ ∙ х₂ -2 ∙ х₁ ∙ х₃ =0.

Найти уравнения касательных к квадрике, проходящих через точки А , В .

Решение. Матрица квадрики Q= .

А ^Т∙ Q ∙ А =(1:8:5)∙ ∙ =(-11:-1:4)∙ =1 А КВП,

Применим формулу (**) (А ^Т∙ Q ^Т∙ Х)² - (А ^Т∙ Q ∙ А)∙(Х ^Т∙ Q ∙ Х) = 0.

А ^Т∙ Q ∙ Х =(1: 8: 5)∙ ∙ =(-11: -1: 4)∙ 11∙ х₁+ х₂ - 4∙ х₃ =0

(11∙ х₁ + х₂ - 4∙ х₃ )² - 1∙(2∙ х₁ ² + х₃ ² - 2∙ х₁ ∙ х₂ - 2∙ х₁ ∙ х₃ ) =

= 121∙ х₁ ² + х₂ ² + 16∙ х₃ ² + 22∙ х₁ ∙ х₂ - 88∙ х₁ ∙ х₃ - 8∙ х₂ ∙ х₃ - 2∙ х₁ ² - х₃ ² + 2∙ х₁ ∙ х₂ + 2∙ х₁ ∙ х₃ =

= 119∙ х₁ ² + х₂ ² + 15∙ х₃ ² + 24∙ х₁ ∙ х₂ - 86∙ х₁ ∙ х₃ - 8∙ х₂ ∙ х₃ =

= х₂ ² +2∙ х₂ ∙12∙ х₁ -2∙ х₂ ∙4∙ х₃ + 144∙ х₁ ² +16∙ х₃ ² - 2∙12∙ х₁ ∙4∙ х₃ - 144∙ х₁ ² -16∙ х₃ ² +96∙ х₁ ∙ х₃ +119∙ х₁ ² +15∙ х₃ ² - 86∙ х₁ ∙ х₃ =

= (х₂ + 12∙ х₁ -∙4∙ х₃)² - 25∙ х₁ ² - х₃ ² + 10∙ х₁ ∙ х₃ = (х₂ + 12∙ х₁ -∙4∙ х₃)² - (5∙ х₁ - х₃)² =

= ((х₂ + 12∙ х₁ - 4∙ х₃ ) - (5∙ х₁ - х₃ ))∙((х₂ + 12∙ х₁ - 4∙ х₃ ) + (5∙ х₁ - х₃ ))=

= (х₂ + 12∙ х₁ - 4∙ х₃ - 5∙ х₁ + х₃ )∙(х₂ + 12∙ х₁ - 4∙ х₃ + 5∙ х₁ - х₃ )=

= (х₂ +7∙ х₁ - 3∙ х₃ )∙(х₂ +17∙ х₁ - 5∙ х₃) = (7∙ х₁ + х₂ - 3∙ х₃ )∙(17∙ х₁ + х₂ - 5∙ х₃) = 0.

Т.о. касательные: 7∙ х₁ + х₂ - 3∙ х₃ = 0 и 17∙ х₁ + х₂ - 5∙ х₃ = 0.

В ^Т∙ Q ∙ В =(18:13:6)∙ ∙ = (17:-18:-12) ∙ =0 В КВП.

Уравнение касательной:

В ^Т∙ Q ∙ Х = (18: 13: 6)∙ ∙ = 0 (17: -18: -12)∙ = 17∙ х₁ - 18· х₂ - 12∙ х₃ = 0.

Дата добавления: 2015-07-26