Сложное отношение

Читайте также:

На проективной прямой одна из трёх точек всегда лежит между двумя другими.

Нет смысла говорить о простом отношении трех точек. Необходима дополнительная точка.

Рассмотрим A, B, C, D, причем А, В, С – различны и D ≠ А.

Из первых трёх точек можно составить репер - R (А,В,С) и пусть точка D в этом репере.

Определение: Число λ = называется сложным (или двойным) отношением четырёх точек лежащих на одной прямой.

Обозначение: λ= (AB,CD).

Замечание: Так как D ≠ А , значит х₂≠ 0 (AB,CD)= - всегда определено.

Теорема. Для А, В, С - различных точек на проективной прямой и любого действительного числа λ существует единственная точка D на этой прямой такая, что (AB,CD) = λ.

Доказательство. Так как А, В, С – различны, то они могут образовать репер R (А,В,С). Тогда в этом R (А,В,С) существует некоторая точка D с координатами и по определению сложного отношения (AB,CD)= = λ (существование).

Докажем единственность от противного: Пусть существует еще одна точка D₁ такая, что

(AB,CD₁)= λ= х₁=λ∙х₂ D₁ = =D D₁=D (единственность). □

Вывод: По любым трем точкам и λ всегда можно найти четвертую.

Пусть А , В , С , D - различные точки.

Возьмем первые три в качестве нового репера, если + ≠ , то репер R ′ (А, В, С) не согласован. Согласуем репер:

k₁ + k₂ =

∆= , ∆₁= , ∆₂= k₁ = , k₂ = .

Тогда матрица преобразования координат - M= .

Обратная для неё- M^-1 = .

По формулам преобразования координат: μ D_R_′ = М^-1 ∙ D_R

= ∙ =

Множитель можно отбросить. (Почему?)

(AB,CD) =. = =

Эту формулу можно записать с помощь определителей (проверьте самостоятельно):

Схема для запоминания формула для вычисления

Свойства:

1. Сложное отношение не зависит от выбора репера.

Доказательство основано на формулах перехода к новому реперу

λ Х_R = А ∙X_R_′ и μ X_R_′ = А^-1 ∙ Х_R и свойствах определителя.

2. При перестановке пар сложное отношение не меняется: (AB,CD) =(CD, AB).

3. При перестановке точек в паре сложное отношение меняется на обратное:

(AB,CD)= .

Доказательство свойств 1 - 3.Самостоятельно.

4. При перестановке крайних точек сложное отношение меняется на дополнительное к единице. При перестановке внутренних точек сложное отношение меняется на дополнительное к единице.

(AB,CD) = 1 - (DB,CA) или (AB,CD)= 1 - (AC,BD).

Доказательство. Рассмотрим репер из первых трёх точек А, В, С и пусть точка D в этом репере, тогда(АВ,СD)= = λ.

(DВ,СА)=

Докажите это свойство другим способом.

Из точек A, B, C, D можно составить 24 комбинации сложных отношений точек (4!), некоторые из них будут совпадать. Например (AB,CD) =(CD, AB) = (DC,BA) = (BA,DC) (проверьте).

Таким образом, будет 6 различных сложных отношений (проверьте).

(AB,CD) = λ → .

Определение: Если (AB,CD) > 0, то говорят, что пара AB не разделяет пару CD. Если (AB,CD) < 0, то говорят, что пара AB разделяет пару CD.

5. (AB,CD) = (поэтому сложное отношение называется двойным).

Доказательство. Рассмотрим однородную проективную систему координат. Пусть известны аффинные координаты точек А (α), В (β), С (γ), D (δ), тогда их проективные координаты будут

А , В , С , D .

С одной стороны (AB,CD) = = .

С другой стороны (AB,C) = и (AB,D) =

= = = □

6. Если D_∞ - несобственная точка, тогда (AB,CD_∞) = - (AB,C).

Доказательство. Рассмотрим однородную проективную систему координат R (Е_1∞, Е₂, Е). Пусть известны аффинные координаты собственных точек А (α), В (β), С (γ), тогда их проективные координаты будут А , В , С .

Так как точка D несобственная, то D=Е_1∞, D .

С одной стороны (AB,CD_∞) = = .

С другой стороны (AB,C) = .

Попробуйте доказать это свойство другим способом. □

Определение: Центральной проекцией прямой ℓ на прямую ℓ ' из точки S называется отображение, при котором каждой точке А прямой ℓ ставится в соответствие точка А 'прямой ℓ'

такая что А '= ℓ ' ∩ (SА).

7. При центральном проектировании сложное отношение четырёх точек, лежащих на одной прямой не меняется. (AB,CD)=(A'B',C'D').

Доказательство. (AB,CD) = λ, доказать, что (A'B',C 'D') = λ.

На прямой (SС) возьмем точку Е и рассмотрим репер

R (А, В, S, Е).

Тогда А , В , S , Е .

D (АВ) D , С=Е₃₀= .

Тогда в согласованном репере R (А,В,С) - D (AB,CD)= = λ (обоснуйте).

А ' (АS) А ' , сократим на х₁, получим .

В ' (ВS) В ' , сократим на у₂, получим .

Рассмотрим репер R' (А',В',S,Е). Он не согласован т.к. + + ≠ .

Решая систему , получим k₁ = 1, k₂ = 1, k₃ = - а – b.

Тогда, М и М ^-1

Пусть точка D в репере R' имеет координаты , тогда по формулам преобразования координат μ Х_R_′ = М^-1 ∙ Х_R

D_R_′ = · = .

С_R_′ = · = = .

Так как точка D' является проекцией точки D из точки S (вершины нового репера) на координатную прямую (А'В'), то по теореме о проекциях D'_R_′= . Точка С' является проекцией точки С из точки S на (А'В'), то С'_R_′= . Значит в репере из точек А', В', С' точка D ' ,

тогда (A'B',C 'D')= . □

Замечание: Это свойство позволяет вычислять сложное отношение для точек, заданных своими координатами на проективной плоскости.

Задача. Найти сложное отношение точек A , B , C , D .

Решение. Проверим коллинеарность точек.

~ ~ ~ ~ rang = 2 точки коллинеарны.

(Какими ещё способами можно проверить коллинеарность точек?)

Спроектируем точки из какой-либо вершины репера на какую-либо координатную прямую. Например, из Е₃ на (Е₁Е₂), получим точки

A ₃ , B ₃ , C ₃ , D ₃ .

В репере R (Е₁, Е₂, Е₃₀) эти точки будут иметь координаты A ₃ , B ₃, C ₃, D ₃.

По свойству (7) получим

(AB,CD) = (A ₃ B ₃, C ₃ D ₃) = = 3.

Замечание: Проверка коллинеарности точек на плоскости обязательна!

Замечание: Это свойство позволяет вводить понятие сложного отношения четырёх прямых пучка. Проводя любую прямую, не принадлежащую пучку, мы будем получать четвёрки точек с одинаковым сложным отношением.

Определение: Сложным отношением 4 прямых пучка будем называть число (ab,cd) = (AB,CD).

Задача. Найти сложное отношение прямых а: х₁ – 3 х₂ + 5 х₃ = 0, b: 4 х₁ + 3 х₂ - х₃ = 0,

c: 2 х₁ – х₂ + 3 х₃ = 0, d: 3 х₁ – 4 х₂ + 8 х₃ = 0.

Решение.

Первый способ: Проверим принадлежность прямых одному пучку.

Найдем точку пересечения прямых а и b:

→ → или - М.

Проверим, принадлежит ли точка М прямым с и d:

для прямой с: 2∙(-4) – 7 + 3∙5= 0, для прямой d: 3∙(-4) - 4∙7 + 8∙5 = 0.

прямые принадлежат одному пучку. (Какими ещё способами можно проверить принадлежность прямых одному пучку?)

Выберем любую прямую не проходящую через точку М, например прямую (Е₂Е₃), её уравнение х₁ = 0. Найдем точки пересечения данных прямых с прямой (Е₂Е₃):

→ → - точка А,