Преобразование координат

Рассмотрим проективную прямую Р₁ и два репера

R (Е₁ ,Е₂ ,Е) и R′ (Е′₁ ,Е′₂ , Е′). Пусть известны координаты точек второго репера в первом репере:

Е′₁ , Е′₂ , Е′ , т.е. ē′₁ = α ₁₁ ē₁+ α ₂₁ ē₂, ē′₂ = α ₁₂ ē₁ + α ₂₂ ē₂, ē′ = α ₁₀ ē₁ + α ₂₀ ē₂.

В общем случае репер R′ (Е′₁ ,Е′₂ ,Е′) может оказаться не согласованным (ē′₁+ ē′₂ ≠ ē′). Согласуем точки второго репера, т.е. найдем такие числа k₁ и k₂, что ē′ = k₁ē′₁ + k₂ē′₂, для этого необходимо решить систему: .

Пусть матрица системы А , тогда ∆ А ≠ 0 (почему?).

Система имеет единственное решение (k₁, k₂) и тогда будем считать координатами точек Е′₁ и Е′₂ , репер в этом случае будет согласованным.

Замечание: В дальнейшем будем считать, что второй репер – согласован (если нет, то мы знаем, как его согласовать).

Пусть точка Х в репере R и та же точка в репере R′ имеет координаты .

Тогда вектор , порождающий эту точку может выражаться через вектора первого и второго базисов: = х₁ ∙ē₁ + х₂ ∙ē₂ или = у₁∙ē′₁ + у₂∙ē′₂

= у₁∙ē′₁ + у₂∙ē′₂ = у₁∙ (α ₁₁∙ē₁ + α ₂₁∙ē₂) + у₂∙ (α ₁∙ē₁ + α ₂₂∙ē₂) = =(у₁∙ α ₁₁+ у₂∙ α ₁₂)∙ ē₁+ (у₁∙ α ₂₁+ у₂∙ α ₂₂)∙ ē₂ = х₁∙ē₁+ х₂∙ē₂ х₁ = у₁∙ α ₁₁ + у₂∙ α ₁₂ и х₂ = у₁∙ α ₂₁ + у₂∙ α ₂₂,

или = ∙ , в матричной записи: Х_R = A ∙X_R′,

где Х_R - столбец координат точки Х в первом (старом) репере,

а X_R′ - столбец координат той же самой точки Х во втором (новом) репере.

Матрица А будет матрицей перехода от старого репера к новому реперу.

Замечание: Матрица А является невырожденной. (Почему?).

Вывод: Зная матрицу перехода и координаты точки в новом репере можно находить координаты точки в старом репере:

Х_R = A ∙X_R′ │∙ А^-1 слева

А^-1 ∙ Х_R = А^-1 ∙ A ∙X_R′ = X_R′ X_R′ = А^-1 ∙ Х_R.

Вывод: Формулы преобразования координат точек при переходе к другому реперу имеют вид:

λ Х_R = A ∙ X_R′ и μ X_R′ = А^-1 ∙ Х_R.

Аналогичные рассуждения можно применить для Р₂,

Пусть Е'₁ , Е'₂ , Е'₃ , Е' .

Для согласования второго репера будем находить k₁, k₂, k₃.

Получим матрицу третьего порядка А.

Формулы преобразования координат точек будут такими же:

λ Х_R = A ∙ X_R′ и μ X_R′ = А^-1 ∙ Х_R.

Рассмотрим прямую и∙Х= 0.

Пусть её координаты в старом репере - и_R и в новом - u_R′.

Уравнение прямой в старом репере и_R ∙Х_R= 0, в новом и_R′ ∙Х_R′= 0.

Подставим формулы преобразования координат, получим 0 = и_R ∙ Х_R = и_R ∙ A ∙ X_R′ = и_R′ ∙ Х_{R ′},

где и_R ∙ A = и_R′ или λ и_R′= и_R ∙ A, тогда μ и_R = и_R′ ∙ A^-1.

Вывод: Формулы преобразования координат точек и прямых на проективной плоскости имеют вид:

Для точек λ Х_R = A ∙ X_R′ и μ X_R′ = A ^-1 ∙ Х_R.

Для прямых λ и_R′= и_R ∙ A и μ и_R = и_R′ ∙ A ^-1.

Замечание:Обратите внимание на умножение матриц: для точек матрица перехода умножается слева, а для прямых справа.

Задача. Даны два репера R (Е₁ , Е₂ , Е₃ , Е) и R′ (Е′₁ , Е′₂ , Е′₃ , Е′). Известны координаты точек второго репера в первом:

Е′₁ , Е′₂ , Е′₃ , Е′ .

Найти формулы преобразования координат при переходе от одного репера к другому. Найти координаты точки М во втором репере если известны её координаты в первом М_R . Найти координаты точки К в первом репере если известны её координаты во втором К_{R ′} .

Найти уравнение прямой а:5 х₁ - 2 х₂+ 3 х₃ = 0 в новом репере.

Решение. Проверим, согласованы ли точки второго репера:

+ + = ≠ - второй репер не согласован.

Согласуем его, для этого решим систему ,

её решением будет: k₁ = 2, k₂ = 2, k₃ = -1,

тогда матрица перехода будет A ,

обратной является A^-1= = .

Так как координаты определяются с точностью до пропорциональности коэффициент можно отбросить.

Формулы преобразования координат примут вид:

λ Х_R= ∙ X_R′ и μ X_R′ = ∙ Х_R.

μ М_R′ = A ^-1 ∙ М_R = ∙ = .

λ К_R= A ∙ К_R′ = ∙ = , с учетом пропорциональности координаты точки К в старом репере будут .

λ а_R′= а_R ∙ A = ∙ = , с учетом пропорциональности координаты прямой будут а_R′: 10 х′₁ + 9 х′₂ = 0

Дата добавления: 2015-07-26