Однородные проективные координаты

Рассмотрим расширенную евклидову прямую. Пусть одна из базисных точек будет несобственной, например Е_1∞. Так как на расширенной прямой только одна несобственная точка, то у всех остальных точек х₂ ≠ 0.

Возьмем базис в V₂ следующим образом:

ē = , ē₂ = ,

тогда ē₁ = .

Пусть М = х₁ ∙ē₁ + х₂ ∙ē₂, или = ∙ē₁+1∙ē₂ = ∙ +1∙ē₂, но коэффициент 1 перед ē₂ будет у всех векторов, кроме ē₁, а значит все точки кроме Е_1∞ определяются отношением . Если точку Е₂ взять в качестве начала отсчета, а точку Е в качестве единицы, то на прямой получается аффинная система координат с базисным вектором ē₁= и для построения точки достаточно знать аффинную координату х= . Единственная точка, у которой не может быть аффинной координаты - точка Е_1∞.

Задача. Найти аффинные координаты точек А , В , С

Решение. А имеет аффинную координату х_А= - ⅔,

В имеет аффинную координату х_В= 0, С → х_С= 2.

Замечание: Если х - аффинная координата точки Х, тогда проективными координатами точки будут - .

Точка Е_1∞ - не имеет аффинных координат, т.к. её нет на аффинной прямой.

Замечание: Несобственной точкой в репере может быть точка Е_2∞, тогда аффинный репер будет состоять из точек Е₁ (начало)и Е (единица), а аффинная координата будет х = .

Определение: Проективный репер прямой, в котором одна из вершин является несобственной точкой называется однородным. (однородная проективная система координат).

Определение: Аффинная система координат, связанная с однородной проективной системой координат называется неоднородной аффинной системой координат.

Замечание: Если несобственной будет единичная точка Е, то репер не будет однородным.

Рассмотрим расширенную евклидову плоскость.

Пусть две базисные точки будут несобственными, например Е_1∞. и Е_2∞.

Если у точки плоскости координата х₃ = 0, тогда точка лежит на прямой (Е_1∞ Е_2∞) которая является несобственной прямой, а значит и сама точка является несобственной.

Рассмотрим точки, для которых х₃ ≠ 0.

Возьмем базис в V₃ следующим образом: ē= , ē₃= , тогда ē₁= и ē₂= .

Пусть М - собственная точка = х₁∙ē₁+ х₂∙ē₂+ х₃∙ē₃, или

= ∙ē₁+ ∙ē₂ + ē₃ = ∙ + ∙ + ē₃, но коэффициент 1 перед ē₃ будет у всех точек плоскости, для которых х₃ ≠ 0, а значит, такие точки определяются отношениями и .

Если обозначить = х и = у, то получим = х ∙ē₁ + у ∙ē₂.

Это означает, что х и у - аффинные координаты собственных точек на плоскости.

Начало координат в точке Е₃, оси ОХ и ОY - это прямые (Е_1∞ Е₃) и (Е_2∞ Е₃), единицы на осях - Е₁₀ и Е₂₀, базисные векторы ē₁ = и ē₂ = .

Вывод: Любая собственная точка М на расширенной евклидовой плоскости будет иметь аффинные координаты - (х; у), где х = и у = . И наоборот, точка с аффинными координатами - (х; у)будет иметь проективные координаты - .

Если точка несобственная - N_∞ , то задать её можно только с помощью прямой на которой она лежит (т.к. каждая прямая имеет только одну несобственную точку).

У всех несобственных точек х₃= 0, вектор порождающий такую точку будет - = х₁∙ē₁+ х₂∙ē₂+ 0 ∙ē₃ или = х₁∙ē₁+ х₂∙ē₂ - это направляющий вектор прямой, на которой лежит несобственная точка N_∞.

Задача. Найти аффинные координаты точек

А , В , С , D .

Решение. Для А аффинные координаты будут (0,4;-0,6), для точки В - (-1; -3), для С - (2; 0). Точка D является несобственной, т.к. х₃= 0, аффинных координат у этой точки нет. Тогда эту точку можно задать только с помощью прямой на которой она лежит. Направляющий вектор этой прямой будет - = 1 ∙ē₁ - 3 ∙ē₂.

Задача. Найти проективные координаты точек А (4; -3), В (5; 0).

Решение. А (4; -3) имеет проективные координаты . Точка В (5; 0) - .

Задача. Найти координаты несобственной точки, лежащей на прямой т: 2 х + 7 у = 0.

Решение. Направляющий вектор прямой будет (7; -2) проективные координаты точки М_∞ .

Замечание: Несобственными точками могут быть точки Е_1∞ и Е_3∞, тогда аффинные координаты будут - х = и у = .

Или несобственными точками в репере могут быть точки - Е_2∞ и Е_3∞ (аффинные координаты определите самостоятельно).

Определение: Проективный репер плоскости, в котором две из трёх вершин являются несобственными точками, называется однородным (однородная проективная система координат).

Определение: Аффинная система координат, связанная с однородной проективной системой координат, называется неоднородной аффинной системой координат.

Замечание: Если одной из несобственных точек будет единичная точка Е, то репер не будет однородным.

---

Дата добавления: 2015-07-26