Взаимное расположение двух прямых

Рассмотрим две прямые заданные однородными уравнениями.

и: и₁ х₁+ и₂ х₂+ и₃ х₃ = 0 и v: v₁ х₁+ v₂ х₂+ v₃ х₃ =0.

Найдем общие точки. Для этого надо решить систему линейных уравнений:

.

Из курса алгебры известно, что число линейно-независимых решений однородной системы зависит от ранга матрицы системы и равно число неизвестных минус ранг матрицы.

Пусть r = rg , тогда r {0, 1, 2}.

Случай r = 0 невозможен, так как хотя бы один коэффициент в каждом уравнении отличен от нуля.

Случай r = 1 означает, что строки матрицы пропорциональны, т.е. мы имеем одно и то же уравнение, что означает - прямые совпадают.

При r = 2, число линейно-независимых решений 3 – 2 = 1, т.е. одно линейно-независимое решение, которое дает одномерное линейное подпространство L₁ которое в свою очередь порождает Р₀ – проективную точку. Это означает, что прямые пересекаются в одной точке. Других вариантов нет.

Замечание: Тем самым мы доказали, что любые две различные прямые пересекаются в одной точке.

Замечание: Одним из решений однородной системы из двух уравнение от трёх неизвестных будет:

х₁= ; х₂= ; х₃= .

Вывод: Прямая на проективной плоскости (так же как и точка) определяется набором чисел - и₁ , и₂ , и₃, с точностью до пропорциональности, которые одновременно не обращаются в ноль.

Определение:Числа (и₁ : и₂: и₃) называются координатами прямой.

Замечание: Договоримся в дальнейшем записывать координаты точек в виде матрицы-столбца, а координаты прямых в виде матрицы-строки.

Тогда, если Х - точка, а и (и₁ и₂ и₃) - прямая, то однородное уравнение прямой можно записать в матричном виде: (и₁ и₂ и₃)∙ = 0 или и∙Х= 0.

Задача. Определить взаимное расположение прямых:

l: 2 х₁ - х₂+ х₃ = 0и т: х₁+ 3 х₂ - 2 х₃ = 0.

Решение. Координаты прямых будут (2 -1 1) и (1 3 -2), так как они не пропорциональны, значит прямые различны, а следовательно они пересекаются в одной точке. Найдем эту точку:

→ (у второй координаты меняем знак!).

---

Дата добавления: 2015-07-26