Взаимное расположение прямой и квадрики

Пусть дана овальная квадрика Х ^Т∙ Q ∙ Х =0 и прямая (АВ).

Взаимное расположение прямой и квадрики будет зависеть от решения системы:

Если существует решение, тогда квадрика и прямая пересекаются.

Если решения не существует, тогда квадрика и прямая не пересекаются.

Параметрическое уравнение прямой подставим в уравнение квадрики.

(λ ∙ А ^Т + μ ∙ В ^Т)∙ Q ∙(λ ∙ А + μ ∙ В) =0 λ ² ∙А ^Т∙ Q ∙ А + λ ∙ μ ∙ А ^Т∙ Q ∙ В + μ ∙ λ ∙ В ^Т∙ Q ∙ А + μ ²∙ В ^Т∙ Q ∙ В = 0

Каждое из выражений А ^Т∙ Q ∙ А, А ^Т∙ Q ∙ В, В ^Т∙ Q ∙ А, В ^Т∙ Q ∙ В является числом,

так как матрицы Q, А, А ^Т, В, В ^Т- заданы.

(А ^Т∙ Q ∙ В)^Т = В ^Т∙ Q ^Т∙ А ^ТТ =В ^Т∙ Q ∙ А, но А ^Т∙ Q ∙ В - это число, а значит (А ^Т∙ Q ∙ В)^Т= А ^Т∙ Q ∙ В, т.е. А ^Т∙ Q ∙ В = В ^Т∙ Q ∙ А.

Обозначим А ^Т∙ Q ∙ А = а, В ^Т∙ Q ∙ В= b, А ^Т∙ Q ∙ В = В ^Т∙ Q ∙ А = с,

Тогда получим: λ ²∙ а + 2∙ λ ∙ μ ∙ с + μ ²∙ b = 0 - однородное уравнение, разделим на μ ² (параметры уравнения прямой λ и μ одновременно не обращаются в 0, хотя бы один их них отличен от 0).

- квадратное уравнение относительно .

D = 4∙ с ² - 4∙ а ∙ b = 4∙(А ^Т ∙Q ^Т∙ В) ² - 4∙(А ^Т∙ Q ∙ А) ∙ (В ^Т∙ Q ∙ В).

Как известно, квадратное уравнение может иметь два, или один, или ни одного корня в зависимости от дискриминанта.

При D > 0, две точки пересечения, т.е. прямая будет секущей;

при D = 0, одна точка пересечения, т.е. прямая будет касательной к квадрике;

при D < 0, точек пересечения прямой и квадрики нет.

Замечание: Аналогично можно рассматривать систему . Выражая одну из переменных через две другие и подставляя в уравнение квадрики, получим однородное уравнение второй степени от двух переменных. Решая аналогичным способом, итоговый результат будет тем же.

Вывод: Прямая может не иметь общих точек с квадрикой, может касаться её или быть секущей. Других вариантов нет.

Задача. Установить взаимное расположение квадрики х₁ ²+ х₂ ² -х₃ ² - 2∙ х₁ ∙ х₂ -4∙ х₁ ∙ х₃ =0 и прямой, проходящей через точки А и В .

Решение. Первый способ: Q= - матрица квадрики, тогда

а =А ^Т∙ Q ∙ А = ∙ ∙ = 12

b= В ^Т∙ Q ∙ В= ∙ ∙ = 4

с = А ^Т∙ Q ∙ В = ∙ ∙ = -8,

и

Одно решение λ₁= 1 и μ₁ = 3 Х₁ = 1 ∙ + 3 ∙ = = .

Второе решение λ₂= 1 и μ₂ =1 Х₂ = 1 ∙ + 1 ∙ = = .

Прямая пересекает квадрику в двух точках Х ₁ и Х ₂.

Второй способ: Найдем уравнение прямой (АВ):

=0 - 2 х ₁ +2 х ₂ -2 х ₃ = 0 х ₁ - х ₂ + х ₃ = 0.

Решим систему

Х₁= и Х₂= - точки пересечения (АВ) и КВП

Дата добавления: 2015-07-26