Студопедия
Случайная страница | ТОМ-1 | ТОМ-2 | ТОМ-3
АвтомобилиАстрономияБиологияГеографияДом и садДругие языкиДругоеИнформатика
ИсторияКультураЛитератураЛогикаМатематикаМедицинаМеталлургияМеханика
ОбразованиеОхрана трудаПедагогикаПолитикаПравоПсихологияРелигияРиторика
СоциологияСпортСтроительствоТехнологияТуризмФизикаФилософияФинансы
ХимияЧерчениеЭкологияЭкономикаЭлектроника

Взаимное расположение прямой и квадрики

Читайте также:
  1. B -отрезок отсекаемой прямой на оси y
  2. ECN И ПРЯМОЙ ДОСТУП
  3. АВТОМОБИЛЬ НА ПРЯМОЙ
  4. Б) непрямой массаж сердца
  5. Б. Прямой контроль
  6. В период инерционной фазы идет взаимное подчинение людей друг другу, происходит образование больших государств, создание и накопление материальных благ.
  7. Взаимное влияние звуков и восприятие речи

Пусть дана овальная квадрика Х ТQХ =0 и прямая (АВ).

Взаимное расположение прямой и квадрики будет зависеть от решения системы:

Если существует решение, тогда квадрика и прямая пересекаются.

Если решения не существует, тогда квадрика и прямая не пересекаются.

Параметрическое уравнение прямой подставим в уравнение квадрики.

(λ А Т + μ В Т)∙ Q ∙(λА + μВ) =0 λ ² ∙А ТQА + λμА ТQВ + μλВ ТQА + μ ²∙ В ТQВ = 0

Каждое из выражений А ТQА, А ТQВ, В ТQА, В ТQВ является числом,

так как матрицы Q, А, А Т, В, В Т- заданы.

(А ТQВ)Т = В ТQ ТА ТТ ТQА, но А ТQВ - это число, а значит (А ТQВ)Т= А ТQВ, т.е. А ТQВ = В ТQА.

Обозначим А ТQА = а, В ТQВ= b, А ТQВ = В ТQА = с,

Тогда получим: λ ²∙ а + 2∙ λμс + μ ²∙ b = 0 - однородное уравнение, разделим на μ ² (параметры уравнения прямой λ и μ одновременно не обращаются в 0, хотя бы один их них отличен от 0).

- квадратное уравнение относительно .

D = 4∙ с ² - 4∙ аb = 4∙(А Т ∙Q ТВ) ² - 4∙(А ТQА) (В ТQВ).

Как известно, квадратное уравнение может иметь два, или один, или ни одного корня в зависимости от дискриминанта.

При D > 0, две точки пересечения, т.е. прямая будет секущей;

при D = 0, одна точка пересечения, т.е. прямая будет касательной к квадрике;

при D < 0, точек пересечения прямой и квадрики нет.

Замечание: Аналогично можно рассматривать систему . Выражая одну из переменных через две другие и подставляя в уравнение квадрики, получим однородное уравнение второй степени от двух переменных. Решая аналогичным способом, итоговый результат будет тем же.

Вывод: Прямая может не иметь общих точек с квадрикой, может касаться её или быть секущей. Других вариантов нет.

 

Задача. Установить взаимное расположение квадрики х1 ²+ х2 ² 3 ² - 2∙ х1х2 -4∙ х1х3 =0 и прямой, проходящей через точки А и В .

Решение. Первый способ: Q= - матрица квадрики, тогда

а =А ТQА = = 12

b= В ТQВ= = 4

с = А ТQВ = = -8,

и

Одно решение λ1= 1 и μ1 = 3 Х1 = 1 + 3 = = .

Второе решение λ2= 1 и μ2 =1 Х2 = 1 + 1 = = .

Прямая пересекает квадрику в двух точках Х 1 и Х 2.

Второй способ: Найдем уравнение прямой (АВ):

=0 - 2 х 1 +2 х 2 -2 х 3 = 0 х 1 - х 2 + х 3 = 0.

Решим систему

Х1= и Х2= - точки пересечения (АВ) и КВП

 


Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 292 | Нарушение авторских прав


Читайте в этой же книге: Преобразование координат | Принцип двойственности | Теорема Дезарга | Простое отношение | Сложное отношение | Гармонизм | Гармонические свойства полного четырехвершинника | Построение четвертой гармонической точки с использованием свойств полного 4-вершинника | Задачи на построение. | Квадрики на проективной плоскости |
<== предыдущая страница | следующая страница ==>
Классификация кривых второго порядка на проективной плоскости.| Уравнение касательной

mybiblioteka.su - 2015-2024 год. (0.007 сек.)