Проективный репер

Рассмотрим проективные прямую P₁. и плоскость P₂.

Определение: Упорядоченная система из трех различных точек Е₁ , Е₂ , Е - называется проективным репером на прямой P₁.

Обозначение: R (Е₁ , Е₂ , Е) - проективный репер на прямой.

Определение: Упорядоченная система точек

Е₁ , Е₂, Е₃ , Е, среди которых никакие три не лежат на одной прямой, называется проективным репером на плоскости.

Обозначение: R (Е₁ , Е₂ , Е₃ , Е) - проективный репер на плоскости.

Названия: Е₁ , Е₂ , Е₃ - вершины репера или базисные точки,

Е - единичная точка,

(Е₁Е₂), (Е₁Е₃), (Е₂Е₃) - координатные прямые.

Пусть R (Е₁ , Е₂ , Е) - проективный репер на прямой (на P₂ все определяется аналогично). P₁ порождается V₂.

Пусть Е₁, Е₂, Е порождаются векторами - ē₁, ē₂, ē V₂.

Замечание: Так как Е₁ ≠Е₂ ē₁, ē₂ – не коллинеарны, а значит они могут образовывать базис в V₂. В дальнейшем будем считать ē₁, ē₂ – базисом V₂. Аналогично для Р₂ - векторы ē₁, ē₂, ē₃ – линейно независимы (почему?), а значит могут быть базисом в V₃.

Определение: Система векторов ē₁, ē₂, ē - называется согласованной, если ē₁+ē₂=ē (для Р₂ - ē= ē₁+ ē₂+ē₃).

Теорема. Всегда существует система векторов согласованная с данным репером.

Доказательство. Докажем для проективной прямой, для проективной плоскости доказывается по аналогии.

Точки Е₁ , Е₂ , Е порождаются векторами ē₁ , ē₂ , ē V₂ они линейно зависимы такие, что α ∙ ē₁ + β ∙ ē₂ = ē. Но ē'₁= α∙ ē₁ - порождает точку Е₁, а ē'₂ =β∙ē₂ - точку Е₂ (аксиома 2). Тогда система ē'₁, ē'₂, ē – будет согласованной с данным репером. □

Замечание: Систем векторов согласованных с данным репером много.

Теорема. Пусть R (Е₁ , Е₂ , Е) репер на прямой, а ē₁ , ē₂ , ē и ā₁ , ā₂ , ā - две системы векторов, согласованные с данным репером, тогда λ ≠ 0, причем ā₁= λ ∙ē₁ , ā₂= λ ∙ē₂ , ā= λ ∙ē.

Доказательство. Так как вектора ē₁ , ē₂ , ē и ā₁ , ā₂ , ā порождают одинаковые точки по аксиоме 2 они коллинеарны, т.е. ā₁= λ₁∙ ē₁ , ā₂= λ₂∙ ē₂ , ā= λ∙ ē, но системы согласованны ē₁+ ē₂= ē и ā₁+ ā₂=ā λ₁ ∙ē₁+ λ₂ ∙ē₂= λ ∙ē λ₁ ∙ē₁+ λ₂ ∙ē₂= λ ∙ē |: λ≠0

ē= ∙ē₁+ ∙ē₂=ē₁+ē₂ =1 и =1

λ₁=λ₂ = λ ā₁= λ ∙ē₁ , ā₂= λ ∙ē₂ , ā= λ ∙ē.

Для проективной плоскости Р₂ рассмотреть самостоятельно (по аналогии). □

Определение: Базисы ē₁ , ē₂ , ē₃ и ā₁ , ā₂ , ā₃, такие, что ē_i=λ ā_i называются гомотетичными.

Координаты точки на прямой (плоскости)

Рассмотрим P₁ и R (Е₁ , Е₂ , Е) - проективный репер на прямой

Пусть ē₁ , ē₂ , ē - согласованная система векторов и пусть точка М P₁ порождается вектором .

Векторы ē₁ , ē₂ – базисные, тогда = х₁ ∙ ē₁+х₂ ∙ ē₂.

Определение: Набор чисел (х₁ , х₂ ) называется координатами точки в данном репере.

Вектор = λ ∙ =λ ∙х₁∙ē₁+ λ ∙х₂∙ē₂ - определяет ту же точку М.

Тогда, точка М определяется набором или (х₁ , х₂) или (λ ∙х₁ ,λ ∙х₂).

Вывод: Координаты точки определены с точностью до постоянного множителя (до пропорциональности).

Обозначение: М (х₁ : х₂ ) или .

На проективной плоскости координаты определяются аналогично:

Обозначение: М (х₁ : х₂: х₃) или .

Замечание:Числа х₁ и х₂ (для плоскости - х₁, х₂, х₃) одновременно не обращаются в ноль(Почему?).

Координаты точек репера на прямой будут:

вершины - Е₁ , Е₂ , единичная точка - Е ,

на плоскости - Е₁ (1: 0: 0), Е₂ (0: 1: 0), Е₃ (0: 0: 1), Е (1: 1: 1) (Обоснуйте).

Дата добавления: 2015-07-26