Читайте также:
|
Рассмотрим частный случай уравнений (11.1), когда коэффициенты при у, и его производных постоянные величины, а не переменные, зависящие от х. Пусть функция 
. Итак, имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) n-го порядка с постоянными коэффициентами
, (13.1)
(i=0,…,n).
Согласно теореме 11.1 общее решение ЛНДУ (13.1) складывается из 
общего решения соответствующего ЛОДУ
и 
частного решения ЛНДУ (13.1). Ранее, в п. 12 уже рассматривался вопрос о решении ЛОДУ. Здесь речь пойдет о поиске 
. Для этого есть 2 способа: метод вариации произвольных постоянных и метод неопределенных коэффициентов. Причем, первый способ применяется не только для ЛНДУ (13.1), но и в более общем случае, для уравнений вида (11.1). Этот способ будет рассмотрен позднее, в п.14. Сейчас же остановимся на методе неопределенных коэффициентов, который применяется для ЛНДУ с постоянными коэффициентами, причем правая часть 
должна быть только специального вида, в противном случае следует применять другой метод, а именно, метод вариации произвольных постоянных.
Рассмотрим несколько видов специальной правой части ЛНДУ с постоянными коэффициентами. На самом деле можно было обойтись одним случаем, т.к. другие это его частные случаи, но мы сделали эту разбивку ради простоты изложения и понимания.
1 случай. Правая часть уравнения (13.1) имеет вид:
, (13.2)
где 
многочлен степени n, 
R. Частное решение неоднородного уравнения ищется по формуле:
, (13.3)
где 
кратность числа 
, как корня характеристического уравнения, 
многочлен степени n, записанный с неопределенными коэффициентами (см. примеры 2, 3, 4).
Замечание 1. многочлен 
ой степени с неопределенными коэффициентами имеет вид:
.
Например, многочлен 0 степени: 
, многочлен 1 степени: 
, многочлен 2-ой степени: 
и т.д.
Замечание 2. При 
имеем: 
и формула (13.2) принимает вид:
, (13.4)
а частное решение 
ищется в виде:
, (13.5)
здесь кратность числа 0 (т.к. ), как корня характеристического уравнения (см. пример 1).
2 случай. Правая часть уравнения (13.1) имеет вид:
, (13.6)
где многочлен степени n, 
многочлен степени m, 
R. Частное решение неоднородного уравнения (13.1) ищется по формуле:
, (13.7)
где r- кратность числа 
, как корня характеристического уравнения, 
и 
многочлены одной и той же степени 
, записанные с неопределенными коэффициентами (см. примеры 5, 8).
Замечание 1. Формулы (13.2) и (13.4) есть частные случаи формулы (13.6). Действительно, при 
имеем, 
, 
и из формулы (13.6) получается формула (13.2). Если же одновременно и , то из формулы (13.6) получается формула (13.4).
Замечание 2. В случае, когда правая часть ЛНДУ (13.1) имеет не полный вид (13.6), например, 
или 
, решение все равно ищется по полной формуле (13.7) (см. примеры 6, 7).
Замечание 3. Пусть 
правая часть уравнения (13.1) есть сумма: 
, тогда 
, где 
есть частное решение ДУ (13.1) с правой частью 
.
ПРИМЕР 1. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Перепишем уравнение в виде:
.
Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со «специальной» правой частью. Решение 
уравнения находится как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения 
и 
частного решения исходного неоднородного уравнения.
Найдем 
. Для решения однородного уравнения составим характеристическое уравнение, формально заменив 
на 1, 
на k, 
на 
, получим
.
Корни характеристического уравнения 
комплексные числа вида 
, где 
, тогда решение запишется по формуле 
. Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:
.
Найдем у*. Правая часть неоднородного дифференциального уравнения есть функция 
. Сравнивая ее с формулой (13.4): , определяем, что 
. Решение ищем по формуле (13.5): . Так как число 0 не является корнем характеристического уравнения, то 
. Многочлену второй степени (здесь х во 2-ой степени; 
) соответствует многочлен также второй степени с неопределенными коэффициентами, а именно 
. Таким образом, формула при , примет вид:
или
.
Найдем неопределенные коэффициенты A, В, С. Для этого , 
и 
подставим в уравнение , получим
или
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства
Найденные коэффициенты 
, 
и 
подставляем в выражение . Таким образом, частное решение неоднородного ДУ примет вид:
.
Запишем общее решение 
исходного дифференциального уравнения
.
ПРИМЕР 2. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со «специальной» правой частью. Решение находится по формуле (11.2): как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения 
и частного решения исходного неоднородного уравнения.
Найдем . Для решения однородного уравнения составим характеристическое уравнение, формально заменив на 1, на k, y″ на , получим:
.
Корни квадратного уравнения 
, 
действительные и различные числа, тогда запишется по формуле (12.8): 
. Таким образом, имеем общее решение однородного уравнения
.
Найдем у*. Правая часть исходного дифференциального уравнения есть функция 
. Сравнивая ее с формулой (13.2): , определяем, что 
, 
. Решение ищем по формуле (13.3): . Так как совпадает только с одним корнем характеристического уравнения 
(
), то 
. Многочлену нулевой степени 
(здесь х в нулевой степени, т.к. х отсутствует; 
) соответствует многочлен также нулевой степени с неопределенными коэффициентами, а именно 
. Таким образом, формула при , , примет вид:
.
Осталось найти неопределенный коэффициент А. Для этого 
, 
и 
подставим в исходное дифференциальное уравнение: . Сокращая обе части уравнения на 
, запишем
,
откуда получаем искомый коэффициент 
. Итак, частное решение исходного неоднородного ДУ при примет вид
.
Запишем общее решение дифференциального уравнения:
или 
.
ПРИМЕР 3. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со «специальной» правой частью. Решение находится по формуле (11.2): как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения 
и частного решения исходного неоднородного уравнения.
Найдем . Для решения однородного уравнения составим характеристическое уравнение, формально заменив на 1, на k, на , получим
.
Корни квадратного уравнения 
, 
действительные и различные числа, тогда решение находится по формуле (12.8): . Таким образом, имеем общее решение однородного уравнения:
.
Найдем у*. Правая часть исходного дифференциального уравнения есть функция 
. Сравнивая ее с формулой (13.2): , определяем, что 
, 
. Решение ищемя по формуле (13.3): . Число совпадает только с одним корнем характеристического уравнения. Действительно, 
, но 
, следовательно . Многочлену первой степени 
(здесь 
в первой степени) соответствует многочлен также первой степени с неопределенными коэффициентами, а именно 
. Таким образом, формула при 
, , примет вид:
или 
.
Осталось найти неопределенные коэффициенты А и В. Для этого , 
и 
подставим в исходное ДУ 
. Сокращая обе части уравнения на 
, запишем
Упростив, получим:
.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства
Найденные коэффициенты 
и 
подставляем в выражение . Таким образом, частное решение неоднородного ДУ примет вид:
.
Запишем общее решение исходного дифференциального уравнения
или
.
ПРИМЕР 4. Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение. Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со «специальной» правой частью. Решение уравнения находится как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения 
и частного решения исходного неоднородного уравнения.
Найдем . Для решения однородного уравнения составим характеристическое уравнение, формально заменив на 1, на k, на , получим
.
Корни характеристического уравнения 
, 
действительные и равные числа, тогда решение запишется по формуле (12.9): 
. Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:
.
Найдем у*. Правая часть исходного дифференциального уравнения есть функция 
. Сравнивая ее с формулой (13.2): , определяем, что 
, 
. Решение ищется по формуле (13.3): . Так как совпадает с двумя корнями характеристического уравнения 
, , то 
. Многочлену нулевой степени (, здесь 
отсутствует, т.е. в нулевой степени) соответствует многочлен с неопределенными коэффициентами также нулевой степени, а именно . Таким образом, формула при , , примет вид:
.
Найдем неопределенный коэффициент A. Для этого , 
и 
подставим в исходное дифференциальное уравнение . Сокращая обе части на 
, получим уравнение
,
из которого находим 
. Таким образом, частное решение неоднородного ДУ при примет вид:
.
Запишем общее решение 
исходного дифференциального уравнения
или 
.
ПРИМЕР 5. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со «специальной» правой частью. Решение уравнения находится как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения 
и частного решения исходного неоднородного уравнения.
Найдем . Для решения однородного уравнения составим характеристическое уравнение, формально заменив на 1, на k, на , получим
.
Корни характеристического уравнения 
комплексные числа вида , где 
, тогда решение запишется по формуле . Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:
.
Найдем у*. Правая часть исходного дифференциального уравнения есть функция 
. Сравнивая ее с формулой (13.6): , определяем, что 
, 
, , 
. Решение ищется по формуле (13.7): . Так как 
не является корнем характеристического уравнения 
, то . Многочленам нулевой степени и (
, здесь отсутствует, т.е. х в нулевой степени) соответствуют многочлены с неопределенными коэффициентами также нулевой степени, а именно 
и 
. Таким образом, формула при , , , , примет вид:
или 
.
Найдем неизвестные коэффициенты А и В. Для этого , 
и 
подставим в исходное дифференциальное уравнение , получим
или, после упрощения,
.
Приравниваем коэффициенты при 
и 
в обеих частях равенства
Найденные значения 
и 
подставляем в . Таким образом, частное решение неоднородного ДУ примет вид:
.
Запишем общее решение исходного дифференциального уравнения:
.
ПРИМЕР 6. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со «специальной» правой частью. Решение находится как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения 
и частного решения исходного неоднородного уравнения.
Найдем . Для решения однородного уравнения составим характеристическое уравнение, формально заменив на 1, на k, на , получим
.
Корни характеристического уравнения 
комплексные числа вида , где 
, тогда решение запишется по формуле . Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:
.
Найдем у*. Правая часть исходного дифференциального уравнения есть функция 
. Сравнивая ее с формулой (13.6): , определяем, что , 
, 
, 
. Решение ищется по формуле (13.7): . Так как 
совпадает с одним корнем характеристического уравнения 
, то . Многочленам нулевой степени 
и (, здесь отсутствует, т.е. х в нулевой степени) соответствуют многочлены с неопределенными коэффициентами также нулевой степени, а именно и . Таким образом, формула при , , , , примет вид:
.
Найдем неизвестные коэффициенты А и В. Для этого , 
и 
подставим в исходное дифференциальное уравнение . Сокращаем обе части уравнения на 
и после упрощения получим
.
Сравниваем коэффициенты при 
и 
в обех частях равенства
Таким образом, частное решение неоднородного ДУ при 
и 
примет вид:
или 
Запишем общее решение исходного дифференциального уравнения
или
.
ПРИМЕР 7. Найти общее решение дифференциального уравнения
Решение. Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со «специальной» правой частью. Решение находится как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения 
и частного решения исходного неоднородного уравнения.
Найдем . Для решения однородного уравнения составим характеристическое уравнение, формально заменив на 1, на k, на , получим
.
Корни характеристического уравнения 
комплексные числа вида , где 
, тогда решение запишется по формуле . Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:
или
.
Найдем у*. Правая часть исходного дифференциального уравнения есть функция 
. Сравнивая ее с формулой (13.6): , определяем, что , 
, 
, 
. Решение ищется по формуле (13.7): . Так как 
совпадает с одним корнем характеристического уравнения 
, то . Многочленам нулевой степени и (, здесь отсутствует, т.е. х в нулевой степени) соответствуют многочлены с неопределенными коэффициентами также нулевой степени, а именно и . Таким образом, формула при , , , , примет вид:
или
.
Найдем неизвестные коэффициенты А и В. Для этого , 
и 
подставим в исходное дифференциальное уравнение , получим 
или, после упрощения
Сравниваем коэффициенты при 
и 
в обеих частях равенства
Таким образом, частное решение неоднородного ДУ при 
и 
примет вид:
или 
.
Запишем общее решение исходного дифференциального уравнения
или
.
ПРИМЕР 8. Найти общее решение дифференциального уравнения:
Решение. Это линейное неоднородное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами со «специальной» правой частью. Решение находится как сумма общего решения соответствующего однородного уравнения 
и частного решения исходного неоднородного уравнения.
Найдем . Для решения однородного уравнения составим характеристическое уравнение, формально заменив на 1, на k, на , получим
.
Корни характеристического уравнения 
комплексные числа вида , где 
, тогда решение запишется по формуле . Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:
или
.
Найдем у*. Правая часть исходного дифференциального уравнения есть функция 
. Сравнивая ее с формулой (13.6): , определяем, что , 
, 
, 
. Решение ищется по формуле (13.7): . Так как 
совпадает с одним корнем характеристического уравнения 
, то . Многочленам первой и нулевой степени 
и 
соответствуют многочлены с неопределенными коэффициентами степени 
, т.е. первой степени, а именно 
и 
. Таким образом, формула при , , , , примет вид:
или
.
Найдем неизвестные коэффициенты 
. Для этого , и 
подставим в исходное дифференциальное уравнение . После упрощения получим
Сравниваем коэффициенты при 
и 
в обеих частях равенства
Найденные значения 
подставляем в , имеем:
.
Запишем общее решение 
данного дифференциального уравнения:
или
.
Дата добавления: 2015-07-26; просмотров: 400 | Нарушение авторских прав
| <== предыдущая страница | | | следующая страница ==> |
| Внедрение новшеств | | | Многоклеточные организмы |