Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Резонанс

Для того чтобы реальные колебательные системы с диссипацией энергии пополняли ее запас необходимо к системе приложить внешнее воздействие (какую-то силу). Рассмотрим частный случай, когда вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону.

В этом случае, для того чтобы получить дифференциальное уравнение, в правую часть подставляем выражение , , .

Поскольку в знаменателе имеется сложная зависимость от частоты, имеет смысл проанализировать знаменатель на предмет экстремумы минимума:

, , , , — резонансная частота колебаний.

Резонанс — явление резкого возрастания амплитуды колебаний, наступающее при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебательной силы.

Волной называется всякое распространяющ. в пространстве возмущения состояния вещества или поля.

Механизм образования упругих волн. Продольные и поперечные волны

В зависимости от направления частиц, волну подразделяют на продольные и поперечные. И в том и в другом случае частицы среды, по которой распространяется волна, совершают колебательное движение вблизи положения равновесия. Для продольной волны частицы совершают колебательное движение вдоль линии, по которой распространяется волна, а для поперечной — перпендикулярно.

Следует отметить, что продольные волны связаны с объемной упругой деформацией среды и поэтому они могут наблюдаться в твердых жидких и газообразных средах.

Поперечные волны связаны с деформацией сдвига и поэтому эти волны наблюдаются в твердых телах.

Выведем уравнение волны

, , , , , ,

_{__ У} равнение бегущей волны

k — волновой вектор, направленный параллельно направлению распространения волны.

t — время и x — координату, y — функция от двух переменных.

- волновое число.

Расстояние на которое распространяется синосоидальная волна за время, равное периоду колебаний, называется длиной волны.

Волновой фронт – геометрическое место точек, до которого и некоторому моменту времени t распространилось колебание.

Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе.

Зависимость фазовой скорости от частоты или от упругих свойств среды называется дисперсией.

Фазовая скорость - скорость распространения данной фазы колебания.

:

Волна называется плоской, если ее волновые поверхности представляют совокупность плоскостей, параллельных друг другу.

.

Волна называется сферической, если ее волновые поверхности имеют вид концентрических сфер.

.

Затухающей волной называется волна у которой амплитуда колебаний уменьшается со временем.

Объемная плотность потенциальной энергии упругодеформированной среды

Кинетической энергии

Под объемной плотностью энергии упругих волн понимают объемную плотность механической энергии среды, обусловленную распространением этих волн.

Вектор плотности потока энергии называется вектором Умова.

.

В одной и той же среде одновременно распространяются упругие волны от различных источников. Если они сходятся, а затем расходятся, то в дальнейшем каждая из них ведет себя, как будто бы она встречала другую — принцип суперпозиции.

Результатирующее возмущение в какой-либо точке линейной среды при одновременном распространении в ней нескольких волн равно сумме возмущений, соответствующих каждой из этих волн порознь.

Явление наложения волн при котором происходит устойчивое во времени их взаимное усиление в одних точках пространства и ослабление в других называется интерференцией волн.

Уравнение стоячей волны и его анализ

При сложении вол, в результате интерференции, колебания в одних точках усиливаются, а в других ослабляются. Отдельный интерес представляет случай, когда источники, излучающие волны, имеют постоянную разность фаз и поэтому являются когерентными ( ). Такие волны образуются, например, при отражении волны от препятствия (второй источник).

В результате интерференции таких волн образуются так называемые стоячие волны.

Рассмотрим образование стоячей волны:

, , , .

В полученном уравнении амплитуда, во-первых, в два раза больше начальной, и во-вторых, полученная амплитуда зависит от положения точки, при этом есть точки, где амплитуда максимальна ( ) — пучности, и точки с минимальной амплитудой, где ,— узлы.

Волновой пакет и групповая скорость

Мы определили фазовую скорость для плоской волны. Помимо синусоидальных существуют наиболее сложные колебания.

С помощью математических преобразований такой затухающий процесс преобразуется в сумму синусоид. Точно также любую часть синусоиды можно преобразовать в виде суммы других синусоид.

Т. о. всякая реальная волна, которая распространяется в среде с дисперсией, имеет скорость, отличную от всех фазовых скоростей, эта скорость называется групповой.

---

Дата добавления: 2015-07-24