Дифференциальное уравнение гармонических колебаний

Пусть некоторая физическая величина S совершает гармонические колебания (1). Легко показать, что вторая производная по времен от S равна . С учетом (1) получаем, что , т.е.

. (3)

Итак, можно сделать вывод: если величина S изменяется по гармоническому закону (1), то отсюда следует справедливость равенства (3). В математике показывается и обратное: если для величины S = S(t) справедливо равенство (3) при всех допустимых значениях t, то S(t) имеет только вид (1) и никакой другой. Причем А и в (1) есть произвольные постоянные, конкретные значения которых зависят от так называемых начальных условий, т. е. от значений S и ее производной S' в некоторый момент времени t (обычно при t = 0 ).

Равенство (3) называют дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

Таким образом, мы получили чрезвычайно важное утверждение:

если с помощью законов физики для физической величины S удалось записать дифференциальное уравнение вида , то отсюда будет следовать, что S изменяется обязательно, по гармоническому закону с циклической частотой (). Конкретные значения амплитуды А и начальной фазы зависят от начальных условий.

Заметим, что в (3) стоит величина , которая всегда положительна. Поэтому, например, уравнение не будет дифференциальным уравнением гармонических колебаний, т.к. не найдется такого действительного значения , для которого было бы равно «– 6».

Дата добавления: 2015-07-24