Полюс и поляра

Рассмотрим овальную квадрику Х ^Т ∙Q∙ Х = 0 и точки А и В не принадлежащие квадрике.

Пусть M и L точки пересечения квадрики и прямой (АВ).

Определение: Если (AB,ML)=-1, то говорят что овальная квадрика гармонически разделяет пару АВ, или точки А и В гармонически сопряжены относительно овальной квадрики.

На прямой (АВ) рассмотрим репер R (A,B,M), тогда в этом репере и точки А , В , М и пусть точка L .

Если (AB,ML)= -1, тогда = -1 α = 1 и β = -1, т.е. L .

Таким образом, М = А+В и L = А – В.

Значит, для точек пересечения прямой (АВ) с квадрикой .

Но являются корнями уравнения λ ²∙ а + 2∙ λ ∙ μ ∙ с + μ ²∙ b =0,

где а = А ^Т∙ Q ∙ А, b = В ^Т∙ Q ∙ В, с = А ^Т∙ Q ∙ В = В ^Т∙ Q ∙ А.

По теореме Виета сумма корней равна среднему коэффициенту, взятому с противоположным знаком: + = - с с = 0 А ^Т∙ Q ∙ В = В ^Т∙ Q ∙ А = 0 - условие гармонической сопряженности точек А и В относительно квадрики.

Фиксируем точку А КВП. Рассмотрим все прямые проходящие через эту точку в каждом случае будет своя точка В гармонически сопряженная с А относительно овальной квадрики. Сделаем точку В переменной, по условию гармонической сопряженности точек относительно овальной квадрики получим: А ^Т∙ Q ∙ Х =0 - это уравнение I степени, то есть прямая, причем это прямая единственна. Эту прямую будем называть полярой точки А. Если точка А КВП, то уравнение А ^Т∙ Q ∙ Х =0 определяет касательную к квадрике в точке А.

Определение: Полярой точки А называется прямая, состоящая из точек гармонически сопряженных с данной точкой относительно овальной квадрики.

Вывод: Полярой точки А является прямая, которая имеет уравнение: А ^Т∙ Q ∙ Х =0 и

в случае А КВП является касательной к овальной квадрике,

в случае А КВП состоит из точек гармонически сопряженных с точкой А относительно овальной квадрики.

Определение:Уравнение А ^Т∙ Q ∙ Х =0 называется уравнением поляры точки А относительно овальной квадрики.

Если уравнение прямой а ∙ Х =0, тогда λ ∙ а = А ^Т∙ Q (с точностью до пропорциональности).

λ ∙ а = А ^Т ∙Q λ ∙ а ∙Q ^-1 = А ^Т ∙Q∙Q ^-1 μ ∙ А ^Т= а ∙Q ^-1 или μ ∙ А= Q ^-1 ∙ а ^Т

(Почему существует Q ^-1 и почему (Q ^-1)^Т= Q ^-1 ?)

Вывод: Для любой прямой существует точка, для которой эта прямая является полярой относительно квадрики.

Определение: Точка, для которой данная прямая относительно овальной квадрики является полярой, называется полюсом прямой.

Свойства:

1. Если точка А внешняя по отношению к овальной квадрике, то ее поляра проходит через точки касания касательных проведенных из точка А к КВП.

Доказательство. Координаты точек касания Х₁ и Х₂ находятся из системы , первое уравнение это уравнение квадрики, второе уравнение это уравнение поляры, а значит это точки пересечения поляры и квадрики. □

2. Если точка и прямая инцидентны, то их поляра и полюс тоже инцидентны.

Доказательство. Пусть а – поляра точки А и В - полюс прямой b,

значит λ ∙ а = А ^Т∙ Q и μ ∙ В= Q ^-1 ∙ b ^Т. Докажем, что А b B a.

Уравнение прямой b ∙ Х = 0, тогда А b b ∙ А =0.

Найдем а ∙ В =(А ^Т∙ Q)∙(Q ^-1∙ b)= А ^Т∙(Q ∙ Q ^-1)∙ b ^Т =А ^Т∙Е∙ b ^Т =А ^Т∙ b ^Т=(А ∙ b)^Т = 0 - это означает, что точка В лежит на прямой а. □

Замечание: Свойство 2 позволяет находить полюс прямой. Выбрав на данной прямой две любые точки и построив их поляры, точка их пересечения будет полюсом данной прямой.

Задача. Дана квадрика х₁ ² - 2∙ х₂ ² + 4∙ х₂ ∙ х₃ =0. Найти уравнение поляры для А и координаты полюса прямой b: х₁ + х₂– 2∙ х₃ =0.

Решение. Q= Q ^-1 =

λ ∙ а=А ^Т∙ Q =(1: 3:-1) ∙ =(1:-8: 6) х₁ -8∙ х₂+ 6∙ х₃ =0.

μ ∙ В= Q ^-1∙ b ^Т= ∙ = В= .

Задача. Дана квадрика 2 ∙ х₁ ² + х₃ ² - 2 ∙ х₁ ∙ х₂ -2 ∙ х₁ ∙ х₃ =0. Найти уравнения касательных к квадрике из точки А .

Решение. Воспользуемся свойством (1). Q = . Найдем уравнение поляры.

λ ∙ а = А ^Т∙ Q =(1: 8: 5)∙ =(-11: -1: 4) 11∙ х₁ + х₂ - 4∙ х₃ =0.

Найдем точки пересечения квадрики поляры.

D = 100–96 = 4 и . и

В и С - точки пересечения поляры и квадрики, тогда прямые (АВ) и (АС) будут касательными.

(АВ): =0 - 7∙ х₁ - х₂ + 3∙ х₃ =0.

(АС): =0 17∙ х₁ + х₂ - 5∙ х₃ =0.

Определение: Трехвершинник называется автополярным относительно овальной квадрики, если каждая его вершина является полюсом противоположной стороны.

Замечание: Автополярных трехвершинников может быть много.

Теорема. Для того чтобы уравнение овальной квадрики было каноническим необходимо и достаточно, чтобы Δ Е₁Е₂Е ₃ был автополярным относительно данной квадрики.

Доказательство. Необходимость:

Дано q₁₁ ∙ х₁ ² + q₂₂ ∙ х₂ ² + q₃₃ ∙ х₃ ² = 0.

Доказать что Δ Е₁Е₂Е ₃ автополярный трёхвершинник.

Достаточность: Найти матрицу Q, используя то, что точка Е₁

является полюсом прямой (Е₂Е ₃) и т.д. (самостоятельно).

Определение: Четырехвершинник называется вписанным в овальную квадрику, если его вершины инцидентны квадрике.

Теорема. Если четырехвершинник вписан в овальную квадрику, тогда диагональный трехвершинник является автополярным относительно квадрики.

Доказательство. Пусть АВСD – четырёхвершинник вписанный в овальную квадрику и Δ PQR - диагональный трёхвершинник.

Докажем, что Р - полюс прямой (QR).

По гармоническим свойствам полного четырехвершинника гармоническими будут: (CB,PK)=(AD,PN)= -1, т.е. точки K и N гармонически сопряжены с точкой Р относительно овальной квадрики, а значит они принадлежат поляре точки Р. В тоже время точки K и N лежат на прямой (QR) (QR) - поляра точки Р. Для точек Q и R доказательство аналогично. □

Замечание: Эта теорема позволяет строить поляру точки если она не инцидентна овальной квадрике.

Дата добавления: 2015-07-26