Погрешность произведения.

Теорема. Относительная погрешность произведения нескольких приближенных чисел, отличных от нуля, не превышает суммы относительных погрешностей этих чисел.

Доказательство. Пусть .

Предполагая для простоты, что приближенные числа положительны, будем иметь:

Отсюда, используя приближенную формулу , находим:

Оценивая последнее выражение по абсолютной величине, получим:

Если — точные значения сомножителей и , как это бывает обычно, малы по сравнению с , то при­ближенно можно положить:

и

где — относительные погрешности сомножителей и - относительная погрешность произведения.

Следовательно,

(1).

Формула (1), очевидно, остается верной также, если сомножители имеют различные знаки.

Следствие. Предельная относительная погрешность произве­дения равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей, т. е,

(2)

Если все множители произведения весьма точны, за исключением одного, то из формулы (2) следует, что предельная относительная погрешность произведения в этом случае будет практически совпадать с предельной относительной погрешностью множителя, обладающего наименьшей точностью. В частном случае, если приближенным является лишь множитель , то имеем просто

Зная предельную относительную погрешность произведения , можно определить его предельную абсолютную погрешность по формуле

Пример 1. Определить произведение приближенных чисел и и число верных знаков в нем, если все написанные цифры сомножителей верные.

Решение. Имеем и . Отсюда

Так как произведение , то (приблизительно).

Отсюда имеет лишь два верных знака и результат следует записать так:

.

Отметим частный случай

где k — точный множитель, отличный от нуля. Имеем:

и

,

т. е. при умножении приближенного числа на точный множитель относительная предельная погрешность не изменяется, а абсолютная предельная погрешность увеличивается в раз.

Пример 2. При наведении ракеты на цель предельная угловая ошибка . Каково возможное отклонение ракеты от цели на дальности км при отсутствии корректирования ошибки?

Решение. Здесь

Очевидно, что относительная погрешность произведения не может быть меньше, чем относительная погрешность наименее точного из сомножителей. Поэтому здесь, как и в случае сложения, не имеет смысла сохранять в более точных сомножителях излишнее количество значащих цифр.

Полезно руководствоваться следующим правилом: чтобы найти произведение нескольких приближенных чисел с различным числом мерных значащих цифр, достаточно:

1) округлить их так, чтобы каждые из них содержало на одну (или две) значащую цифру больше, чем число верных цифр в наименее точном из сомножителей;

2) в результате умножения сохранить столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в наименее точном из сомножителей (или удержать еще одну запасную цифру).

Пример 3. Найти, произведение приближенных чисел и , верных в написанных знаках.

Решение. Применяя правило, после округления имеем и .

Отсюда

Дата добавления: 2015-07-20