Округление чисел.

Рассмотрим некоторое приближенное или точное число , записанное в десятичной нумерации. Часто бывает надобность в округлении этого числа, т. е. в замене его числом с меньшим количеством значащих цифр. Число выбирают так, чтобы погрешность округления была минимальной.

Правило округления (по дополнению). Чтобы округлить число до значащих цифр, отбрасывают все цифры его, стоящие справа от -й значащей цифры, или, если это нужно для сохранения разрядов, заменяют их нулями. При этом:

1) если первая из отброшенных цифр меньше 5, то оставшиеся десятичные знаки сохраняются без изменения;

2) если первая из отброшенных цифр больше 5, то к последней оставшейся цифре прибавляется единица;

3) если первая из отброшенных цифр равна 5 и среди остальных отброшенных цифр имеются ненулевые, то последняя оставшаяся цифра увеличивается на единицу;

3а) если же первая из отброшенных цифр равна 5 и все осталь­ные отброшенные цифры являются нулями, то последняя оставшаяся цифра сохраняется неизменной, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная (правило четной цифры).

Иными словами, если при округлении числа отбрасывается меньше половины единицы последнего сохраняемого десятичного разряда, то цифры всех сохраненных разрядов остаются неизменными; если же отброшенная часть числа составляет больше половины единицы последнего сохраненного десятичного разряда, то цифра этого разряда увеличивается на единицу. В исключительном случае, когда отброшенная часть в точности равна половине единицы последнего сохраненного десятичного разряда, то для компенсации знаков ошибок округления используется правило четной цифры.

Очевидно, что при применении правила округления погрешность округления не превосходит единицы десятичного разряда, определяемого последней оставленной значащей цифрой.

Пример 1. Округляя число

= 3,1415926535...

до пяти, четырех и трех значащих цифр, получим приближенные числа 3,1416; 3,142; 3,14 с абсолютными погрешностями, меньшими

Пример 2. Округляя число 1,2500 до двух значащих цифр, получим приближенное число 1,2 с абсолютной погрешностью, равной .

Точность приближенного числа зависит не от количества значащих цифр, а от количества верных значащих цифр [1], [2]. В тех случаях, когда приближенное число содержит излишнее количество неверных значащих цифр, прибегают к округлению. Обычно руководствуются следующим практическим правилом: при выполнении приближенных вычислений число значащих цифр промежуточных результатов не должно превышать числа верных цифр более чем на одну или две единицы. Окончательный результат может содержать не более чем одну излишнюю значащую цифру, по сравнению с верными. Если при этом абсолютная погрешность результата не превышает двух единиц последнего сохраненного десятичного разряда, то излишняя цифра называется сомнительной.

Приведенное правило позволяет без ущерба точности вычислений избегать написания лишних цифр и значительно экономит время вычислений. Сохранение запасных знаков имеет тот смысл, что обычно оценка погрешностей результатов производится для наихудших вариантов, и фактическая погрешность может оказаться значительно меньше максимальной теоретической. Таким образом, во многих случаях те значащие цифры, которые считаются неверными, на самом деле являются верными.

Приходится также округлять точные числа, содержащие слишком много или бесконечное количество значащих цифр, сообразуясь с общей точностью вычислений.

Заметим, что если точное число округлить по правилу дополнения до значащих цифр, то полученное таким образом приближенное число будет иметь верных цифр (в узком смысле).

Если же приближенное число , имеющее верных цифр, округлить до значащих цифр, то полученное новое приближенное число вообще говоря, будет иметь верных цифр в широком смысле. Действительно, в силу неравенства

предельная абсолютная погрешность числа складывается из абсолютной погрешности числа и погрешности округления.

Дата добавления: 2015-07-20