Обратная задача теории погрешностей.

На практике важна также обратная задача: каковы должны быть абсолютные погрешности аргументов функции, чтобы абсолютная погрешность функции не превышала заданной величины.

Эта задача математически неопределенна, так как заданную предельную погрешность функции можно обеспечить, устанавливая по-разному предельные абсолютные погрешности ее аргументов.

Простейшее решение обратной задачи дается так называемым принципом равных влияний. Согласно этому принципу предполагается, что все частные дифференциалы

одинаково влияют на образование общей абсолютной погрешности

функции .

Пусть величина предельной абсолютной погрешности задана. Тогда на основании формулы (2) § 16

Предполагая, что все слагаемые равны между собой, будем иметь

Отсюда

Пример 1. Радиус основания цилиндра м; высота цилиндра м. С какими абсолютными погрешностями нужно определить R и H, чтобы его объем V можно было вычислить с точностью до

Решение. Имеем и

Полагая R = 2м; H = 3м; приближенно получим:

Отсюда, так как n = 3, то на основании формулы (2) будем иметь:

Пример 2. Требуется найти значение функции

с точностью до двух десятичных знаков (после запятой), причем приближенные значения х и у равны соответственно 15,2 и 57°. Найти допустимую абсолютную погрешность этих величин.

Решение. Здесь

где М = 0,43429 — модуль перехода;

Для того чтобы результат был верен до двух десятичных знаков, нужно выполнение равенства . Тогда по принципу равных влияний имеем:

Нередко при решении обратной задачи по принципу равных влияний мы можем столкнуться с таким случаем, когда найденные по формуле (2) предельные абсолютные погрешности отдельных независимых переменных окажутся настолько малыми, что добиться соответствующей точности при измерении этих величин практически невозможно. В таких случаях следует отступить от принципа равных влияний и за счет разумного уменьшения погрешностей одной части переменных добиться увеличения погрешностей другой части переменных.

Пример 8. С какой точностью надо измерить радиус круга R = 30,5см и со сколькими знаками взять , чтобы площадь круга была известна с точностью до 0,1%?

Решение. Имеем и .

Отсюда

По принципу равных влияний следует положить:

Отсюда: и см.

Таким образом, следовало бы взять = 3,14 и измерять R с точностью до тысячных долей сантиметра. Ясно, что такая точность измерения практически трудно осуществима. Поэтому выгоднее посту­пить следующим образом: взять = 3,142; отсюда = 0,00013; тогда = 0,001—0,00013 = 0,0087 и см. Такая точность достигается сравнительно легко.

Иногда допускают, что предельная абсолютная погрешность всех аргументов одна и та же. Тогда, полагая

из формулы (1) будем иметь:

Наконец, можно предположить, что точность измерения всех аргументов одинакова, т. е. предельные относительные погрешности аргументов равны между собой:

Отсюда получим:

где k — общее значение отношений.

Следовательно,

Подставляя эти значения в формулу (1), находим:

и

Таким образом, окончательно имеем:

Можно также использовать и другие варианты.

Аналогично решается вторая обратная задача теории погрешности, когда задана предельная относительная погрешность функции и ищутся предельные абсолютные или относительные погрешности аргумента.

Иногда в самой постановке задачи имеются условия, не позволяющие использовать принцип равных влияний.

Пример 4. Стороны прямоугольника м и м. Какова допустимая предельная абсолютная погрешность при измерении этих сторон, одинаковая для обеих сторон, чтобы площадь S прямоугольника можно было определить с предельной абсолютной погрешностью ?

Решение. Так как

то

и

Согласно условию задачи

поэтому

Дата добавления: 2015-07-20