Прямая на плоскости

Рассмотрим прямую L на плоскости и вектор , перпендикулярный этой прямой, т.е. . Вектор в этом случае называется нормальным вектором прямой L. Пусть , где M(x₀, y₀) - фиксированная точка, а М(x, y) - текущая точка прямой L. Тогда векторы и ортогональны (см. рис. 1):

Следовательно, их скалярное произведение равно нулю: . В координатах это уравнение имеет вид:

(1)

Уравнение (1) называется уравнением прямой, проходящей через заданную точку, с заданным нормальным вектором.

Рис. 1

Раскрывая скобки в уравнении (1), приходим к общему уравнению прямой на плоскости:

(2)

Перенесем С в правую часть и разделим обе части уравнения на (- С):

Обозначая , , приходим к уравнению прямой в отрезках:

(3)

Очевидно, что параметры a и b численно выражают длины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.

Рис. 2

На рисунке 2 a=-4, b=2, следовательно, уравнение (3) примет вид:

Освобождаясь от знаменателя, приходим к общей форме:

Перенесем первое слагаемое в уравнении (1) в правую часть и обозначим . Тогда получаем

(4)

Нетрудно догадаться, что коэффициент , где - угол наклона прямой к оси абсцисс Ох. Таким образом, уравнение (3) - это уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным угловым коэффициентом.

Раскрывая скобки в уравнении (4) и обозначая (это постоянная), получаем следующее уравнение:

(5)

Ясно, что коэффициент b выражает смещение прямой относительно начала координат вдоль оси ординат Oy. Это уравнение прямой с заданным угловым коэффициентом и заданным смещением.

Рассмотрим вектор , параллельный прямой L, т.е. . Вектор в этом случае называется направляющим вектором прямой L. Тогда векторы и коллинеарны:

Следовательно, их координаты пропорциональны:

(6)

Уравнение (6) называется каноническим уравнением прямой

Рис. 3

Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки M₁ (x₁,y₁) и M₂ (x₂,y₂), имеет вид:

(7)

Это уравнение (см. рис. 3) легко получается из уравнения (6). Здесь в качестве направляющего вектора взят вектор (x₂-x₁,y₂-y₁), соединяющий две точки.

Дата добавления: 2015-07-20