Общая формула для погрешности

Основная задача теории погрешности заключается в следующем: известны погрешности некоторой системы величин, требуется определить погрешность данной функции от этих величин.

Пусть задана дифференцируемая функция

и пусть — абсолютные погрешности аргументов функции. Тогда абсолютная погрешность функции

Обычно на практике — малые величины, произведениями, квадратами и высшими степенями которых можно пренебречь. Поэтому можно положить:

Итак,

(1)

Отсюда, обозначая через предельные абсолютные погрешности аргументов , и через — предельную погрешность функции , для малых получим:

(2)

Разделив обе части неравенства (1) на , будем иметь оценку для относительной погрешности функции .

(3)

Следовательно, за предельную относительную погрешность функции можно принять:

(4)

Пример 1. Найти предельные абсолютную и относительную погрешности объема шара , если диаметр d = 3,7см ±0,05см, а .

Решение. Рассматривая и d как переменные величины, вычисляем частные производные

В силу формулы (2) предельная абсолютная погрешность объема

Поэтому

Отсюда предельная относительная погрешность объема

Пример 2. Для определения модуля Юнга Е по прогибу стержня прямоугольного сечения применяется формула

где l — длина стержня, а и b — измерения поперечного сечения стержня, s —стрела прогиба, р — нагрузка.

Вычислить предельную относительную погрешность при определении модуля Юнга Е, если р = 20кГ; = 0,1%; а = 3мм; = 1%; b = 44мм; = 1%; l =50см; = 1%; s = 2,5см; = 1%.

Решение.

Отсюда, заменяя приращения дифференциалами, будем иметь:

Следовательно,

Таким образом, предельная относительная погрешность составляет 0,081, т. е. примерно 8% от измеряемой величины.

Произведя численные расчеты, имеем:

Дата добавления: 2015-07-20