Погрешность разности.

Рассмотрим разность двух приближенных чисел .

По формуле (2) §4 предельная абсолютная погрешность разности

т. е. предельная абсолютная погрешность разности равна сумме предельных абсолютных погрешностей уменьшаемого и вычитаемого.

Отсюда предельная относительная погрешность разности

(1)

где — точное значение абсолютной величины разности чисел . Замечание о потере точности при вычитании близких чисел. Если приближенные числа достаточно близки друг к другу и имеют малые абсолютные погрешности, то число мало. Из формулы (1) вытекает, что предельная относительная погрешность в этом случае может быть весьма большой, в то время как относительные погрешности уменьшаемого и вычитаемого остаются малыми, т. е. здесь происходит потеря точности.

Вычислим, например, разность двух чисел: и , каждое из которых имеет пять верных знаков. Вычитая, получим —47,111 =0,021.

Таким образом, разность имеет лишь две значащие цифры, из которых последняя сомнительна, так как предельная абсолютная погрешность разности

= 0,0005 + 0,0005 = 0,001.

Предельные относительные погрешности вычитаемого, уменьшаемого и разности соответственно

Предельная относительная погрешность разности здесь примерно в 5000 раз больше предельных относительных погрешностей исходных данных.

Поэтому при приближенных вычислениях полезно преобразовывать выражения, вычисление числовых значений которых приводит к вычитанию близких чисел.

Пример. Найти разность

с тремя верными знаками.

Решение. Так как

то искомый результат есть

Этот результат можно получить, если записать выражение (2) в виде

и взять корни лишь с тремя верными знаками. Действительно,

Исходя из вышесказанного, получаем следующее практическое правило: при приближенных вычислениях следует по возможности избегать вычитания двух почти равных приближенных чисел; если же в силу необходимости приходится вычитать такие числа, то следует уменьшаемое и вычитаемое брать с достаточным числом запасных верных знаков (если такая возможность имеется). Например, если известно, что при вычитании чисел и , первые значащих цифр их пропадут, а результат необходимо иметь с верными значащими цифрами, то следует взять и верными значащими цифрами.

Дата добавления: 2015-07-20