В полярной системе координат

"элементарной фигурой является кри­­­­во­­­­­ли­­­­ней­­­ный сектор (рис.5), площадь которого вычисляется по формуле

Рис.5

Пример 3. Найти площадь фигуры, ограниченной линией

Решение: Так как определяет расстояние до соответствующей точки,

то . Следовательно, область определения функции определяется

неравенством .Общее решение этого неравенства имеет вид

где .

Отсюда . Так как в полярной системе

координат выполняются ограничения на область изменения ,

то область допустимых значений функции в полярной системе

координат состоит из двух промежутков, описывающихся соответствую-

щими неравенствами:

Выбрав несколько значений из указанных промежутков, построим график

функции (рис. 6).

.

Рис.6

В силу симметричности фигуры вычислим площади, где полярный угол

.

Итак,

Следовательно, площадь всей фигуры (кв.ед.).

3.1.1. Если фигура ограничена кривой, заданной параметрически, то площадь вычисляется по формуле .

Пример 4. Вычислить площадь эллипса .

Решение: Сделаем чертеж к задаче (рис.7).

В силу симметричности фигур вычислим 1/4 площади. Найдем пределы интегрирования.

Так как , то

Рис.7

Следовательно, площадь (кв.ед.).

Дата добавления: 2015-07-16