Интегрирование тригонометрических выражений

Рассмотрим несколько видов интегралов от тригонометрических функций.

1.6.1. Интегралы вида:

, , .

Для интегрирования произведений синусов и косинусов различных аргументов применяются тригонометрические формулы:

.

Пример 1. Найти .

Решение: Находим интеграл, преобразуя подынтегральное выражение .

Пример 2. .

Решение: Преобразуем подынтегральное выражение по формуле произведения косинусов:

=

Пример 3. .

Решение: По формуле произведения синусов преобразуем подынтегральное выражение:

=

1.6.2. Интегралы вида .

Если одно из чисел или - нечетное число, то отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы оставшуюся четную степень через дополнительную функцию, приходим к табличному интегралу.

Пример 4. .

Решение:

Пример 5. .

Решение: - -

Пример 6. .

Решение: = =

Пример 7. .

Решение:

1.6.3. Интегралы вида

Интегралы такого вида приводятся к интегралам от рациональной функции нового аргумента универсальной тригонометрической подстановкой . При этом используются формулы:

Пример 8. .

Решение: = .

Если подынтегральная функция содержит и только в четных степенях или зависит только от , то возможна подстановка . При этом

Пример 9. .

Решение: .

Дата добавления: 2015-07-16